¿Qué quiere decir Conway con $C_b(X)$ es "muy pequeño

Question

En Curso de Análisis Funcional de Conway, $2$ nda edición , página $137,$ sección "Una aplicación: La compactación de la piedra y el checo", el autor comenzaba la sección con el siguiente párrafo.

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y considerando el espacio de Banach $C_b(X).$ A menos que se hagan algunas suposiciones sobre $X,$ puede ser que $C_b(X)$ es "muy pequeño". Si, por ejemplo, se supone que $X$ es completamente regular, entonces $C_b(X)$ tiene muchos elementos.

Así que mi pregunta es, ¿qué quiere decir el autor con "muy pequeño"? Además, ¿qué $X$ ¿satisfará esa "pequeñez"?

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Notación : Para cualquier espacio topológico $X,$ dejar $C_b(X)$ sea el espacio de todas las funciones contnuas acotadas de valor real sobre $X.$

Answer 1

$X$ puede tener muy pocas funciones continuas, por ejemplo, si $X$ es indiscreto, por lo que tiene la topología $\{\emptyset, X\}$ y $X$ tiene al menos dos puntos, entonces toda continua $f: X \to Y$ es constante siempre que $Y$ es $T_0$ (ciertamente cierto para $Y=\mathbb{R}$ ): Supongamos $f$ no eran constantes y $f(x_1) = p_1 \neq p_2 = f(x_2)$ , entonces en $Y$ podemos encontrar un conjunto abierto $O$ tal que $p_1 \in O$ , $p_2 \notin O$ (o viceversa). Pero entonces $f^{-1}[O]$ está abierto en $X$ no vacío y no igual a $X$ que no puede ser (por la definición de la topología indiscreta). Así que $f$ debe ser constante.

De hecho, hay incluso ejemplos de $T_3$ (en particular Hausdorff) espacios $X$ tal que todas las funciones continuas de $X$ a $\mathbb{R}$ son constantes. Tenga en cuenta que las funciones constantes a $\mathbb{R}$ son siempre continuas, por lo que tener sólo las constantes es lo mínimo. Además, entonces $C_b(X) \simeq \mathbb{R}$ tanto en el caso de dicho ejemplo como en el espacio indiscreto (y el caso $|X|= 1$ ). Así que $C_b(X)$ no da mucha información adicional sobre $X$ en estos casos triviales. De hecho, para los espacios que son completamente regulares/Tychonoff tenemos suficientes funciones continuas acotadas en $X$ para evitar estas trivialidades y luego resulta que $C_b(X)$ puede llevar mucha información sobre $X$ y esta es exactamente la condición que impone Conway. Todos los espacios métricos, o espacios ordenados, o $T_0$ Los grupos topológicos son completamente regulares, por lo que casi todos los espacios que uno encuentra "en la práctica" están bien, y tienen una gran $C_b(X)$ .