Cosets de S3 y Permutaciones

Question

Citando:

"Sea H el subgrupo de S3 definido por las permutaciones {(1); (123); (132)}. Los cosets izquierdos de H son

(1)H = (123)H = (132)H = {(1); (123); (132)}

(12)H = (13)H = (23)H = {(12); (13); (23)} "

Estoy un poco atascado aquí, no estoy entendiendo el significado de la primera permutación (1).

Creo entender que el resto, como (12), significa que 1 se mapea en 2, 2 se mapea en 1 y 3 en 3.

En segundo lugar, no entiendo por qué (1)H, (123)H y (132)H son igual .

Creo que {(1); (123); (132)} y {(12); (13); (23)} son los dos cosets.

Answer 1

La permutación $(1)$ simplemente significa la identidad, que envía:

$1 \mapsto 1\\2 \mapsto 2\\3 \mapsto 3.$

También podríamos denotarlo por $(1)(2)(3)$ (tres disjuntos $1$ -ciclos), lo que podría ser un poco menos confuso. Es una práctica común omitir $1$ -ciclos de permutaciones, pero en el caso del mapa de identidad, eso nos deja "nada que escribir" (que por supuesto es lo que hace el mapa de identidad, es decir, "nada").

Si se aplica la permutación $(1\ 2)$ a cada elemento de $H$ que es lo que se entiende por:

$(1\ 2)H$ se obtiene (aplicando la pemutación sobre el a la derecha primero, como se suele hacer con la composición):

$(1\ 2)(1) = (1\ 2)$

$(1\ 2)(1\ 2\ 3) = (2\ 3)$

$(1\ 2)(1\ 3\ 2) = (1\ 3)$ que es lo que usted supuso.

No es tan difícil ver que $\{(1), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$ forman un subgrupo cíclico de orden $3$ , que también podríamos denotar como:

$H = \{1,a,a^2\}$ (ya que $(1\ 2\ 3)(1\ 2\ 3) = (1\ 3\ 2)$ ).

entonces $(1)H = 1H = H$ (esto es obvio), mientras que:

$(1\ 2\ 3)H = aH = \{a,a^2,a^3 = 1\}$ que es el mismo conjunto (el orden de los elementos no importa en un conjunto) que $H$ .

De la misma manera, $(1\ 3\ 2)H = a^2H = \{a^2,a^3 = 1,a^4 = a^3a = a\} = H$ .

Resulta que en este caso (y bien se puede especular sobre lo que ocurre en general) para $\sigma \in S_3,$ que tenemos:

$\sigma H = H \iff \sigma \in H$

Answer 2

$(1)H$ es la abreviatura de: El conjunto de elementos que se obtiene al multiplicar $(1)h$ para cada uno de los elementos $h \in H$ .

De la misma manera, $(123)H$ es la abreviatura de: El conjunto de elementos que se obtiene al multiplicar $(123)h$ para cada uno de los elementos $h \in H$ .

Finalmente, $(132)H$ es la abreviatura de: El conjunto de elementos que se obtiene al multiplicar $(132)h$ para cada uno de los elementos $h \in H$ .

Pruebe a enumerar el conjunto resultante de cada uno de estos tres escenarios, y verá que es siempre el mismo.