¿A qué se refiere exactamente el término "isomorfismo" en topología?

Question

Estoy leyendo un artículo y me encontré con la frase que dice lo siguiente:

"Una separación lineal isomorfismo de C(T) a C(S) es continua, en la que C(S) y C(T) denotan espacios de Banach supranormados de valores reales o complejos continuos sobre los espacios compactos de Hausdorff S y T, respectivamente".

El escritor ha utilizado sólo el inyectiva y surjective propiedad para demostrar el teorema, por lo que me ha hecho pensar que el isomorfismo mencionado anteriormente es lo mismo que un mapa de biyección . Por otro lado, he estado acostumbrado a ver isomorfismos en Álgebra. ¿Hay algo más que esto con la palabra isomorfismo en la frase anterior?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Los isomorfismos en la topología (o más correctamente en la categoría de espacios topológicos) son homeomorfismos. Es decir, si tenemos dos espacios topológicos $X$ y $Y$ y luego decir que $X$ y $Y$ son isomorfas es exactamente lo mismo que decir $X$ y $Y$ son homeomórficos.

Ahora bien, como estamos trabajando con espacios de Banach (que son espacios topológicos en sí mismos), existe un teorema en Análisis funcional llamado teorema del mapa abierto:

Teorema del mapa abierto: Si $X$ y $Y$ son espacios de Banach, entonces cualquier mapa lineal continuo suryente $L : X \to Y$ es un mapa abierto.

Ahora bien, si tenemos la propiedad añadida de que $L$ es un mapa inyectivo, que es lo que parece afirmar el autor, entonces obtenemos un mapa abierto biyectivo continuo, a partir del teorema de los mapas abiertos.

Volviendo a la topología, hay un bonito lema que se puede demostrar.

Lema: Dejemos que $X$ y $Y$ sean dos espacios topológicos. Si $f : X \to Y$ es un mapa abierto continuo y biyectivo, entonces $f$ es un homeomorfismo.

Juntando todo esto se puede ver que este lema junto con el teorema del mapa abierto muestra que tenemos un homeomorfismo.

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$^*$ Para los conjuntos, los isomorfismos son biyecciones.