¿Es correcta mi comprensión de las relaciones antisimétricas y simétricas?

Question

Así que me cuesta entender cómo una relación puede ser tanto antisimétrica como simétrica, o ninguna de las dos.

¿Son correctos mis ejemplos? simétrico y antisimétrico

R ={(1,1),(2,2),(3,3)}

no simétrico y no antisimétrico

R = { (1,2),(2,1),(3,4) }

Answer 1

Esta es una forma de pensar en la simetría y la antisimetría que algunas personas encuentran útil. Una relación $R$ en un conjunto $A$ tiene un gráfico dirigido (o dígrafo ) $G_R$ los vértices de $G_R$ son los elementos de $A$ y para cualquier $a,b\in A$ hay un borde en $G_R$ de $a$ a $b$ si y sólo si $\langle a,b\rangle\in R$ . Piensa en los bordes de $G_R$ como calles. Las propiedades de simetría, antisimetría y reflexividad tienen interpretaciones muy sencillas en estos términos:

• $R$ es reflexivo si y sólo si hay un bucle en cada vértice. (Un bucle es una arista que va de algún vértice a sí mismo).

• $R$ es simétrica si y sólo si cada arista en $G_R$ es una calle de doble sentido o un bucle. Equivalentemente, $G_R$ no tiene calles de un solo sentido entre vértices distintos.

• $R$ es antisimétrico si y sólo cada arista de $G_R$ es una calle de sentido único o un bucle. Equivalentemente, $G_R$ no tiene calles de doble sentido entre vértices distintos.

Esto deja claro que si $G_R$ sólo tiene bucles, $R$ es tanto simétrica como antisimétrica: $R$ es simétrico porque $G_R$ no tiene calles de sentido único entre vértices distintos, y $R$ es antisimétrico porque $G_R$ no tiene calles de doble sentido entre vértices distintos.

Para hacer una relación que no sea ni simétrica ni antisimétrica, basta con encontrar un dígrafo que tenga tanto una calle de sentido único como una calle de sentido doble, como éste:

$$0\longrightarrow 1\longleftrightarrow 2$$

Corresponde a la relación $R=\{\langle 0,1\rangle,\langle 1,2\rangle,\langle 2,1\rangle\}$ . en $A=\{0,1,2\}$ .

Answer 2

Simétrico significa que si $(a,b)$ está ahí, entonces también lo está $(b,a)$ . Antisimétrico significa que si $(a,b)$ está ahí entonces $(b,a)$ no es allí.

Mira tu segundo ejemplo. $(3,4)$ está ahí. Es $(4,3)$ ¿Allí? ¿Es la relación simétrica? $(1,2)$ y $(2,1)$ están los dos. ¿Es la relación antisimétrica?

Answer 3

Una definición de antisimetría es $$ [(a,b) \wedge (b,a)] \Rightarrow a = b. $$ Es decir, si $a$ está relacionado con $b$ y viceversa, entonces $a$ y $b$ son en realidad el mismo elemento.

En su primer ejemplo, la parte izquierda de la definición anterior nunca se invoca para los distintos $a$ y $b$ . Por esta razón, se puede decir que la relación es vacuamente antisimétrica. El argumento de su simetría es similar. De hecho, la única forma en que una relación puede ser tanto simétrica como antisimétrica es si todos sus miembros son de la forma $(x,x)$ como en el ejemplo que das.

Para violar la simetría o la antisimetría, basta con un solo ejemplo de su fracaso, que Gerry Myerson señala en su respuesta.