Problema sobre la sucesión de la función integrable de Riemann

Question

A) Supongamos que $g_n\ge0$ es una secuencia de funciones integrables y $\int_{a}^{b} g_n(x) dx$ converge a $0$ . Si $f$ es una función integrable en $[a,b]$ entonces $\int_{a}^{b} f(x)g_n(x) dx$ converge a $0$ .

b) Si $f$ es integrable en $[0,1]$ entonces $\int_{0}^{1} x^nf(x) dx$ converge a $0$ .

Intento :

a) Utilizo el hecho de que $0\le|\int_{a}^{b} f(x)g_n(x) dx|\le\int_{a}^{b}|f(x)|g_n(x) dx$ . El término de la derecha va a $0$ por la hipótesis y la integrabilidad de $f$ implica su acotación. ¿Alguna corrección?

b) Si puedo demostrar que $\int_{a}^{b} x^n dx$ converge a $0$ Puedo utilizar la parte a). Pero no puedo utilizar el método de la antiderivada ni el teorema fundamental del cálculo. ¿Cómo puedo demostrarlo? Usando las sumas, ¿qué partición debo tomar?

Answer 1

La parte (a) es simplemente errónea...

Toma $f(x)= x^{-1/2}$ y $g_n(x)=\frac{1}{n} x^{-1/2}$ . Entonces $\int_0^1 g_n(x)dx = \frac{2}{n} \to 0$ . Sin embargo, $f(x)g_n(x) = \frac{1}{n}x^{-1}$ Así que $\int_0^1 f(x)g_n(x)=+\infty$ para todos $n$ .

Habría que suponer que la secuencia $fg_n$ está dominada por alguna función integrable, o algo así...

Para la parte (b), se puede utilizar simplemente el teorema de convergencia dominada, observando que $|x^nf(x)| \leq |f(x)|$ para todos $n\in \mathbb{N}$ y $x \in [0,1]$ así como el hecho de que $\lim_nx^nf(x) = 0$ para casi todos los $x \in [0,1]$ .