Me vendría bien algo de ayuda con esta integración y/o una explicación de por qué Mathematica muestra una salida diferente.
La integral es: $$\int_{-\infty}^\infty \dfrac{\sigma}{(\sigma^2 + (x-\mu)^2)} \, dx$$
Aquí está mi trabajo:
Toma $u = x-\mu$ para que $du = dx$ . Entonces, \begin{align} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{\sigma}{\sigma^2 + (x-\mu)^2} \, dx &= \int_{-\infty}^\infty \dfrac{\sigma}{\sigma^2 + u^2} \, du \nonumber \\[.5em] &= \dfrac{1}{\sigma} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{\dfrac{u^2}{\sigma^2} + 1} \,dx \nonumber \\[.5em] &= \dfrac{1}{\sigma} \tan^{-1} \left( \dfrac{u}{\sigma} \right) \bigg |_{-\infty}^\infty \nonumber \\[.5em] &= \dfrac{1}{\sigma} \left[ \dfrac{\pi}{2\sigma} + \dfrac{\pi}{2\sigma} \right] \nonumber \\[.5em] &= \dfrac{\pi}{\sigma^2} \nonumber \end{align}
Al utilizar la evaluación de la integral en términos de $u$ Mathematica está de acuerdo con mis resultados. Aunque, al expandir $u$ para ser $x-\mu$ Mathematica dice que la respuesta es $i(\log(-i/\sigma)-\log(i/\sigma))$ que se evalúa como $\pi$ para $\sigma>0$ .
Esto me confunde un poco. Se agradece cualquier idea de por qué es así, gracias.
