Convergencia de una serie alterna : $ \sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n|\sin n|}{n}$

Question

Estudiar la convergencia de $$\displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n|\sin n|}{n}.$$

Estoy atascado con esta serie, necesitamos probablemente alguna medida de irracionalidad de $\pi$ Por desgracia, no estoy familiarizado con esto. Así que aquí está mi intento:

Dejemos que $f(x) = \sum \frac{|\sin{n}|}{n} x^n, |x| < 1$

No es difícil calcular la serie de Fourier de $|\sin(x)|$ :

$$ \displaystyle|\sin(x)|=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(2nx)}{4n^2-1} $$

Entonces el teorema de Fubini ( Versión de la serie ) funciona muy bien (porque la serie anterior converge absolutamente en $x$ fijo ) y todos los cálculos realizados, encontramos que para todos los $x\in( -1,1)$ :

$$ \displaystyle f(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}-\frac{4}{\pi}\sum_{p=1}^{+\infty}\frac{x^2-2x\cos(p)}{(4p^2-1)(x^2-2x\cos(p)+1)} $$

Sin embargo, en la segunda suma no he podido demostrar la convergencia. Creo que la serie diverge porque la siguiente serie $$ \displaystyle\sum\frac{1}{p^2\sin^2\left(\frac{p}{2}\right)} $$

divergen porque $0$ es un punto de acumulación de $\displaystyle (n\sin(n))$ secuencia.

¿Alguna idea (para la serie original)?

Answer 1

Por Prueba de convergencia de Dirichlet esta serie convergerá si podemos demostrar que existe una constante $C$ tal que $$\left|\sum_{n\leq x}(-1)^{n}|\sin(n)|\right|\leq C$$ para todos $x$ .

Vamos a escribir $$\sum_{n\leq x}(-1)^{n}|\sin(n)|=\sum_{n\leq\frac{x}{2}}|\sin(2n)|-\sum_{n\leq\frac{x+1}{2}}|\sin(2n-1)|.$$ Entonces para $x=2N$ un número par, la suma de Euler Maclaurin da como resultado $$\sum_{n\leq N}|\sin(2n)|=\int_{1}^{N}|\sin(2t)|dt+\sum_{k=1}^{K}\frac{(-1)^{k}}{k!}B_{k}\left(\frac{d^{k-1}}{dt^{k-1}}|\sin(2t)|\biggr|_{t=1}^{t=N}\right)$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\frac{(-1)^{K}}{K!}\int_{1}^{N}B_{K}(\{t\})\left(\frac{d^{k}}{dt^{k}}|\sin(2t)|\right)dt.$$ Tenga en cuenta que $|\sin(x)|$ tiene infinitas derivadas en todas partes excepto en los múltiplos enteros de $\pi$ por lo que lo anterior es válido para cualquier $K>0$ . Desde $$|B_{k}(\{x\})|\leq k!2^{1-k}\pi^{-k}\zeta(k),$$ y como las derivadas de $|\sin(t)|$ están limitados en valor absoluto por $1$ se deduce que $$\left|\sum_{n\leq N}|\sin(2n)|-\int_{1}^{N}|\sin(2t)|dt\right|\leq4\sum_{k=1}^{K}\frac{\zeta(k)}{(2\pi)^{k}}+\frac{2\zeta(K)N}{(2\pi)^{K}}.$$ La serie $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta(k)}{(2\pi)^{k}}$ converge absolutamente, por lo que tomando $K=N$ vemos que existe una constante $C_{1}$ tal que $$\left|\sum_{n\leq N}|\sin(2n)|-\int_{1}^{N}|\sin(2t)|dt\right|\leq C_{1}$$ para todos $N$ . Del mismo modo, existe una constante $C_{2}$ tal que $$\left|\sum_{n\leq N}|\sin(2n-1)|-\int_{1}^{N}|\sin(2t-1)|dt\right|\leq C_{2}.$$ Por lo tanto, por la desigualdad del triángulo, $$\left|\sum_{n\leq x}(-1)^{n}|\sin(n)|\right|\leq C_{1}+C_{2}+\left|\int_{1}^{N}|\sin(2t)|dt-\int_{1}^{N}|\sin(2t-1)|dt\right|$$

$$\leq C_{1}+C_{2}+\int_{N-1/2}^{N}|\sin(2t)|dt+\int_{1}^{3/2}|\sin(2t-1)|dt$$

$$\leq C_{3}$$ para alguna constante $C_{3}$ . Esto implica el resultado deseado.

Answer 2

Utilizando la serie de Fourier de $\left|\sin(n)\right|$ el problema de demostrar que $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n \left|\sin n\right|}{n} $$ es convergente se reduce al problema de demostrar que $$ \sum_{m\geq 1}\frac{\log\left|\cos m\right|}{4m^2-1}$$ es convergente. El único problema viene dado por los valores de $m$ tal que $m$ se acerca a un múltiplo impar de $\frac{\pi}{2}$ .
Por otra parte, dado que la medida de irracionalidad de $\pi$ es finito aunque $\cos m$ se acerca a cero, no puede estar más cerca de $\frac{1}{m^{10}}$ para cualquier $m$ lo suficientemente grande. Como $$ \sum_{m\geq 1}\frac{10\log m}{4m^2-1} $$ es absolutamente convergente, la serie original también lo es.