encontrar el centro del círculo

Question

¿Cómo puedo calcular el centro de un círculo? $x,y$ ? Tengo 2 puntos en la circunferencia del círculo y el ángulo entre ellos.

Los 2 puntos del círculo son $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$ . El ángulo entre ellos es $\theta$ . Conozco todos estos valores; ¿cómo puedo calcular el centro a partir de estos valores?

Answer 1

Podrías:

En primer lugar, encuentra la distancia entre los dos puntos y el punto medio de los mismos.

Luego dibuja el triángulo rectángulo formado por uno de los puntos dados, $p_1$ El punto medio, $m$ y el centro, $c$ de la circunferencia (será un triángulo rectángulo ya que la mediatriz de una cuerda de una circunferencia pasa por el centro de la misma).

Sabes la longitud del lado $\overline{p_1m}$ de este triángulo, ya que se conoce la distancia entre los dos puntos dados. También sabes que el ángulo $\angle mcp_1$ es la mitad del ángulo dado.

Ahora, un poco de trigonometría te permitirá encontrar la longitud del lado $\overline{cm}$ del triángulo. Llamemos a esa longitud $l$ .

A continuación, encuentre la ecuación de la línea que contiene $\overline{cm}$ (su pendiente será el recíproco negativo de la pendiente del segmento de recta que une los dos puntos dados).

Digamos que esa ecuación es $y=m_0x+b$ .

Si $(c_1,c_2)$ son las coordenadas del centro y $(m_1,m_2)$ son las coordenadas del punto medio, lo sabrás: $$l = \sqrt{(c_1-m_1 )^2+(c_2-m_2)^2 }$$ et $$c_2=m_0 c_1+b.$$ Por último, se resolverían las ecuaciones anteriores para $c_1$ y $c_2$ .

(Seguramente hay formas más hábiles de hacerlo).

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Como señala Ross Millikan, hay dos soluciones (de ahí que haya otro diagrama algo diferente para la solución no representada por el diagrama anterior)...

Answer 2

Es bastante fácil utilizando números complejos. Puedes representar cada punto $(x,y)$ a través del número complejo $x+iy$ y viceversa. Es más fácil calcular con ellos de esta manera.

Dejemos que $P_1 = 0$ , entonces obtenemos $S = \frac {P_2} 2$ como punto de partida en la bisectriz. Multiplica por $i$ para girar 90°, por lo que tenemos que ir en la dirección de $i\frac{S}{|S|}$ . La distancia es $d = \frac{|S|}{\tan \frac \theta 2}$ Así, obtenemos el centro por

$$M = S + i\frac{S}{|S|}\cdot d = S(1 + \frac i {\tan \frac \theta 2})$$

Ahora para puntos arbitrarios $P_1, P_2$ obtenemos $$M = \frac 1 2 (P_2-P_1) (1 + \frac i {\tan \frac \theta 2}) + P_1.$$

Answer 3

Una pista:

Encuentre la bisectriz perpendicular de $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$ .

Answer 4

El ángulo en el centro es el doble del ángulo entre los puntos dados

que el centro sea (x,y)

formar ecuaciones para los segmentos de línea que unen el centro a estos 2 puntos respectivamente

también tienes el ansgle entre ellos, así que resuelve para obtener (x,y)

Answer 5

La bisectriz del segmento de línea $\overline{P_1P_2}$ pasa por el centro del círculo. Sea $\alpha = \frac \theta 2$ y se obtiene la distancia $d$ para viajar en la bisectriz por $$\tan \alpha = \frac{\overline{P_1P_2}}{d}.$$