Podrías:
En primer lugar, encuentra la distancia entre los dos puntos y el punto medio de los mismos.
Luego dibuja el triángulo rectángulo formado por uno de los puntos dados, $p_1$ El punto medio, $m$ y el centro, $c$ de la circunferencia (será un triángulo rectángulo ya que la mediatriz de una cuerda de una circunferencia pasa por el centro de la misma).
Sabes la longitud del lado $\overline{p_1m}$ de este triángulo, ya que se conoce la distancia entre los dos puntos dados. También sabes que el ángulo $\angle mcp_1$ es la mitad del ángulo dado.
Ahora, un poco de trigonometría te permitirá encontrar la longitud del lado $\overline{cm}$ del triángulo. Llamemos a esa longitud $l$ .
A continuación, encuentre la ecuación de la línea que contiene $\overline{cm}$ (su pendiente será el recíproco negativo de la pendiente del segmento de recta que une los dos puntos dados).
Digamos que esa ecuación es $y=m_0x+b$ .
Si $(c_1,c_2)$ son las coordenadas del centro y $(m_1,m_2)$ son las coordenadas del punto medio, lo sabrás: $$ l = \sqrt{(c_1-m_1 )^2+(c_2-m_2)^2 } $$ et $$ c_2=m_0 c_1+b. $$ Por último, se resolverían las ecuaciones anteriores para $c_1$ y $c_2$ .
(Seguramente hay formas más hábiles de hacerlo).
Como señala Ross Millikan, hay dos soluciones (de ahí que haya otro diagrama algo diferente para la solución no representada por el diagrama anterior)...