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encontrar el centro del círculo

¿Cómo puedo calcular el centro de un círculo? $x,y$ ? Tengo 2 puntos en la circunferencia del círculo y el ángulo entre ellos.

Los 2 puntos del círculo son $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$ . El ángulo entre ellos es $\theta$ . Conozco todos estos valores; ¿cómo puedo calcular el centro a partir de estos valores?

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Joe Lencioni Puntos 4642

Podrías:

En primer lugar, encuentra la distancia entre los dos puntos y el punto medio de los mismos.

Luego dibuja el triángulo rectángulo formado por uno de los puntos dados, $p_1$ El punto medio, $m$ y el centro, $c$ de la circunferencia (será un triángulo rectángulo ya que la mediatriz de una cuerda de una circunferencia pasa por el centro de la misma).

Sabes la longitud del lado $\overline{p_1m}$ de este triángulo, ya que se conoce la distancia entre los dos puntos dados. También sabes que el ángulo $\angle mcp_1$ es la mitad del ángulo dado.

Ahora, un poco de trigonometría te permitirá encontrar la longitud del lado $\overline{cm}$ del triángulo. Llamemos a esa longitud $l$ .

A continuación, encuentre la ecuación de la línea que contiene $\overline{cm}$ (su pendiente será el recíproco negativo de la pendiente del segmento de recta que une los dos puntos dados).

Digamos que esa ecuación es $y=m_0x+b$ .

Si $(c_1,c_2)$ son las coordenadas del centro y $(m_1,m_2)$ son las coordenadas del punto medio, lo sabrás: $$ l = \sqrt{(c_1-m_1 )^2+(c_2-m_2)^2 } $$ et $$ c_2=m_0 c_1+b. $$ Por último, se resolverían las ecuaciones anteriores para $c_1$ y $c_2$ .

(Seguramente hay formas más hábiles de hacerlo).


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Como señala Ross Millikan, hay dos soluciones (de ahí que haya otro diagrama algo diferente para la solución no representada por el diagrama anterior)...

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Zaipai Puntos 1

Es bastante fácil utilizando números complejos. Puedes representar cada punto $(x,y)$ a través del número complejo $x+iy$ y viceversa. Es más fácil calcular con ellos de esta manera.

Dejemos que $P_1 = 0$ , entonces obtenemos $S = \frac {P_2} 2$ como punto de partida en la bisectriz. Multiplica por $i$ para girar 90°, por lo que tenemos que ir en la dirección de $i\frac{S}{|S|}$ . La distancia es $d = \frac{|S|}{\tan \frac \theta 2}$ Así, obtenemos el centro por

$$M = S + i\frac{S}{|S|}\cdot d = S(1 + \frac i {\tan \frac \theta 2})$$

Ahora para puntos arbitrarios $P_1, P_2$ obtenemos $$ M = \frac 1 2 (P_2-P_1) (1 + \frac i {\tan \frac \theta 2}) + P_1. $$

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goingglacial Puntos 161

Una pista:

Encuentre la bisectriz perpendicular de $P_1(x_1,y_1)$ y $P_2(x_2,y_2)$ .

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Marco Everts Puntos 106

El ángulo en el centro es el doble del ángulo entre los puntos dados

que el centro sea (x,y)

formar ecuaciones para los segmentos de línea que unen el centro a estos 2 puntos respectivamente

también tienes el ansgle entre ellos, así que resuelve para obtener (x,y)

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user22132 Puntos 16

La bisectriz del segmento de línea $\overline{P_1P_2}$ pasa por el centro del círculo. Sea $\alpha = \frac \theta 2$ y se obtiene la distancia $d$ para viajar en la bisectriz por $$\tan \alpha = \frac{\overline{P_1P_2}}{d}.$$

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