¿Cómo definir una estructura de grupo en un conjunto arbitrario dado?

Question

Estoy haciendo un curso de Álgebra Abstracta, y mi profesor me hizo una pregunta:
"Encuentra todas las estructuras de grupo posibles en un conjunto X cuya cardinalidad es 4".

Conozco la teoría de grupos básica, pero no soy capaz de entender qué es exactamente lo que la pregunta espera que hagamos (el significado de la pregunta en un lenguaje sencillo, y una posible técnica o forma de responder a tales preguntas, la respuesta exacta no es necesaria).

Answer 1

Como usted quiere específicamente

1. entender lo que la pregunta plantea, y
2. una pista.

Los abordaré y (en vista de (2)) no daré una solución trabajada.

1) Tal y como lo leo, la pregunta esencialmente quiere que arregles un conjunto con $4$ elementos y encontrar todas las estructuras de grupo en este conjunto. Una pregunta diferente (más fácil) es "encontrar todos los grupos con cuatro elementos" (pero entonces la pregunta debería haber dicho "encontrar todas las estructuras de grupo posibles hasta el isomorfismo en un conjunto $X$ cuya cardinalidad es $\leq 4$ ).

Posiblemente esta segunda interpretación es la que se previsto cuando se escribió la pregunta, pero no creo que esto sea lo que la pregunta está pidiendo realmente. [Esto se discute en los comentarios a la pregunta].

2) Es sabido que existen dos grupos de orden $4$ hasta el isomorfismo. Si no conoces este hecho, deberías empezar por verificarlo. Fijemos el conjunto $X=\{a, b, c, d\}$ . Toda biyección del conjunto $X$ al grupo $\mathbb{Z}_4$ define una estructura de grupo en $X$ . Así, por ejemplo, $a\mapsto 0$ , $b\mapsto 1$ , $c\mapsto 2$ , $d\mapsto 3$ da una estructura de grupo, mientras que $a\mapsto 1$ , $b\mapsto 2$ , $c\mapsto 3$ , $d\mapsto 0$ da una estructura de grupo diferente. Hay $4!$ biyecciones entre $X$ y $\mathbb{Z}_4$ , y de forma similar $4!$ entre $X$ y $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ (el Klein $4$ -grupo). Por lo tanto, hay a lo sumo $4!+4!$ estructuras de grupo que podemos poner en $X$ . Sin embargo, hay una doble contabilidad. El número real de estructuras de grupo es $4!/2+4!/6=16$ . ¿Por qué?