¿Comparar los espacios topológicos?

Question

Considere las normas $||x||_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$ y $||x||_2 = \large(\sum_{i=1}^n |x_i|^2 \large) ^{\frac{1}{2}}$ induce la topología $\mathcal T_1 $ y $\mathcal{T_2}$ en $R^n$ El $n-$ espacios euclidianos dimensionales, entonces

1. $\mathcal T_1$ es más débil que $\mathcal T_2$

2. $\mathcal T_1$ es más fuerte que $\mathcal T_2$

3. $\mathcal T_1$ equivale a $\mathcal T_2$

4. $\mathcal T_1$ y $ \mathcal T_2$ son incomparables.

Intuitivamente creo que (3) es la respuesta, dejemos que x $\in X_1$ y sus alrededores $B_r^1(x)\ \ in\ \ \mathcal T_1$ existe una bola $B_r^1(x) \ \ in \ \ \mathcal T_2$ de manera que x $\in B_r^2(x) \subseteq B_r^1$ así que $\mathcal T_1$ es más débil que $\mathcal T_2$ . como la muestra que la parte inversa.

Answer 1

Hay un resultado simple pero interesante que dice que "cada dos normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes" y entonces se puede concluir el razonamiento probando que normas equivalentes inducen topologías equivalentes en el mismo espacio.

para más información, consulte aquí

Answer 2

$\left\Vert x\right\Vert _{1}<\epsilon\Rightarrow\left\Vert x\right\Vert _{2}<\epsilon\times \sqrt{n}$ (es posible que sea más nítido, pero no es necesario)

$\left\Vert x\right\Vert _{2}<\epsilon\Rightarrow\left\Vert x\right\Vert _{1}<\epsilon \times n$ (es posible que sea más nítido, pero no es necesario)

Esto le permite escribir un conjunto $U\in\mathcal{T}_{1}$ como una unión de bolas de $\mathcal{T}_{2}$ y viceversa.