Por qué $P(C=c)$ en lugar de simplemente $P(C)$

Question

Por ejemplo, leyendo una representación del Teorema de Bayes $$P(C=c|E) = P(C=c)P(E|C=c) / P(E)$$

Utilicemos el ejemplo común de $P(C)$ = probabilidad de cáncer y $P(E)$ = probabilidad de que la prueba de la mamografía sea positiva. Por qué denotarlo como $P(C=c)$ ¿y qué representa eso?

Answer 1

Realmente depende de la definición de $C$ .

1. Si $C$ se define como un evento , a continuación, utilice $P(C)$ .

2. Si $C$ se define como variable aleatoria que represente, por ejemplo, las categorías de enfermedades, entonces utilice $P(C = c)$ entendiendo que significa esencialmente $P(\{C = c\})$ , donde $\{C = c\}$ es un evento. (Más técnicamente, hay que pensar en un espacio de probabilidad subyacente $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ en la que la variable aleatoria $C$ se define de manera que $\{C = c\} := \{\omega: C(\omega) = c\}$ es un miembro de la $\sigma$ -campo $\mathscr{F}$ . Aquí, $\mathscr{F}$ puede pensarse como una colección de eventos a los que podemos medir sus incertidumbres, es decir, asignar probabilidades).

Basándome en su información, me inclino a estar de acuerdo con usted en que $C$ es el caso de contraer cáncer. Por lo tanto, $P(C)$ , en lugar de $P(C = c)$ es la notación precisa aquí. Mi suposición también se basa en una convención de notación (aunque no estrictamente) en probabilidad: la gente tiende a utilizar letras latinas iniciales $A, B, C, D, E$ para representar eventos, mientras que el uso de letras latinas inferiores $X, Y, Z$ para representar variables aleatorias.

Answer 2

Creo que la gente es descuidada en la notación $P(C)$ . $C$ es una variable aleatoria y puede tener algunos valores, por ejemplo $\{1, 2, 3\}$ .

La notación formal debe ser $P(C=c)$ où $c \in \{1,2,3\}$ . $P(C)$ es una distribución, es decir, una tabla (en el caso discreto), digamos

\begin{cases} P(C=c)=0.2 & c=1 \\ P(C=c)=0.3 & c=2 \\ P(C=c)=0.5 & c=3 \\ \end{cases}

Pero no un número de probabilidad.