Demuestra que la ecuación : $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=2$ no tiene solución en $\mathbb{N^{3}}$

Question

Demuestra que la siguiente ecuación :

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=2$

$x,y,z\in\mathbb{N}$

No tiene solución en $\mathbb{N^{3}}$

Voy a utilizar la pista se dan :

$\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{3}\geq abc$

¿Pero cómo lo uso?

Por ejemplo, si tomamos :

$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$ entonces $\prod \frac{x}{y}=1$

esto significa : $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3$

Answer 1

La pista que menciona es la Desigualdad de medias aritméticas y geométricas , aplicada específicamente a cualquier $3$ valores reales no negativos.

En su caso, como ha dicho, tiene $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3$ . Así, $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = 2$ no puede ser verdadera. Tenga en cuenta que esto es cierto en general para cualquier $x,y,z \gt 0$ con $x,y,z \in \mathbb{R}$ no sólo aquellos en los que $x,y,z \in \mathbb{N}$ .

Actualización: Como se menciona en este respuesta No me di cuenta originalmente, por lo que no abordé en mi solución, que usted utilizó un caso específico de $\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}$ en su pregunta. No obstante, mi frase final deja claro el resultado de $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3$ es realmente cierto para todos los números reales positivos, no sólo para los enteros positivos.

Answer 2

Has utilizado la desigualdad en el caso especial de $\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}$ . Hay que demostrar el resultado en general sin esta suposición, como sigue:- $$\left(\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3}\right)^3 \ge \frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}=1.$$ Así que $$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3} \ge 1.$$

Entonces según la solución de @John Omielan.