¿Condiciones que aseguran que una función convexa es logarítmica-cóncava?

Question

Supongamos que tenemos una función convexa $g(x)$ (estoy particularmente interesado en $g(x)$ disminuyendo pero eso no es un requisito para una respuesta)

¿Existe alguna condición necesaria o suficiente que podamos observar para examinar si $\log g(x)$ es cóncavo?

Mirando algunos ejemplos:

• una función afín es convexa y logarítmica
• $x^2, x^4$ etc. son convexos y logarítmicos
• $e^x$ es logaritmo cóncavo
• $e^{x^2}$ es no tronco cóncavo

Así que una conjetura burda podría ser que una función convexa es logarítmica-cóncava si no aumenta "demasiado rápido". Pero no sé si esto es correcto, e incluso si lo es, no sé qué es "demasiado rápido" (es $e^x$ el límite).

Answer 1

Supongamos que $g$ es positivo y dos veces diferenciable. Entonces $(\ln g)'=\frac{g'}{g}$ y $(\ln g)''=\frac{g''g-g'^2}{g^2}$ por lo que la condición de concavidad es $g''g-g'^2\leq0$ . Desde $g$ es convexo $g''\geq0$ por lo que equivale a $|g'|\geq\sqrt{gg''}$ la primera derivada es mayor en valor absoluto que la media geométrica de la segunda derivada y de la propia función.

"No aumentar demasiado rápido" no es suficiente: $\frac1x$ no aumenta en absoluto, pero en cambio es logarítmico-convexo (tomando $x>0$ ). Puede que haya algo que $e^x$ siendo el "límite", tiene que ver con $x$ siendo el límite entre cóncavo y convexo entre las funciones de potencia. Tomemos $g(x)=\cosh x$ entonces $g'(x)=\sinh x$ , $g''(x)=\cosh x$ y $\cosh^2x-\sinh^2x=1\geq0$ . Así que $\cosh$ creciendo ligeramente más rápido que $e^x$ es log-convexo. Por otro lado, $\sinh x$ que crece un poco más lento, es logarítmico-cóncavo.