No se trata de una cuestión de contar (obviamente), sino más bien de infinitos mayores o menores. Realmente no sé ni por dónde empezar con esto. ¿Alguna ayuda? ¿O es irresoluble?
Respuestas
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Los números no trascendentes (también conocidos como algebraico números - Enlace a Wikipedia ) comprenden un infinito contablemente conjunto, mientras que los números trascendentales son incontablemente infinito .
(¿Por qué sólo hay un número contable de números algebraicos? Porque podemos agruparlos según el polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ son una raíz de, y cualquier polinomio de este tipo tiene finitamente muchas raíces, y sólo hay countably muchos polinomios de este tipo).
La cuestión es que, en términos coloquiales, hay más números trascendentales que números algebraicos.
Por lo tanto, hay ciertamente más números trascendentales que números algebraicos que tampoco son racionales.
Alex S
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El conjunto de números algebraicos $\mathbb A$ es contable, por lo que $\mathbb A\cap (\mathbb R\setminus \mathbb Q)$ también es contable. Por otro lado, el conjunto de números trascendentales $\mathbb R\setminus\mathbb A$ debe ser incontable, por lo que $$|\mathbb R\setminus\mathbb A|>|\mathbb A\cap(\mathbb R\setminus\mathbb Q)|.$$
João Ramos
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Pista: el conjunto de números algebraicos es Contable.
Para demostrarlo, puedes mostrar que los polinomios con coeficientes enteros forman un conjunto contable, y que el conjunto de sus raíces también es contable. Este último no es más que el conjunto de los números algebraicos (sobre $\mathbb{C}$ ). Como los números algebraicos sobre $\mathbb{R}$ forman un subconjunto del conjunto anterior, también debe ser Contable.
Alex M.
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Obsérvese que los números irracionales no trascendentes forman un subconjunto de $\Bbb A = \overline {\Bbb Q} \subset \Bbb C$ el conjunto de los números algebraicos complejos (es decir, el cierre algebraico de $\Bbb Q$ ).
Desde un punto de vista puramente conjunto-teórico perspectiva, demostremos que $\Bbb A$ es contable . Para $a_0, \dots, a_n \in \Bbb Q$ , dejemos que $R(a_0, \dots, a_n)$ sea el conjunto de las raíces del polinomio $a_0 + \dots + a_n x^n$ - un conjunto finito con un máximo de $n$ elementos distintos. Obsérvese que como cada elemento de $\Bbb A$ es la raíz de un polinomio de este tipo, entonces
$$\Bbb A = \bigcup \limits _{n \ge 1} \bigcup \limits _{(a_0, \dots, a_n) \in \Bbb Q ^{n+1}} R(a_0, \dots, a_n) .$$
Desde $\Bbb Q$ es contable, también lo será $\Bbb Q ^{n+1} \space \forall n \ge 1$ por lo que la unión interna es una unión contable de conjuntos finitos y, por tanto, contable. Ahora bien, la unión exterior será una unión contable de conjuntos contables, por lo que también es contable. Los números trascendentales serán, por tanto, incontables, por lo que mucho más .
De un medida-teórica punto de vista, los conjuntos contables son null conjuntos para la medida de Lebesgue, por lo que de nuevo el conjunto de los trascendentales será mucho más grande .
Por último, desde un topológico punto de vista, es un poco más técnico mostrar que los dos tipos de números por los que se pregunta son denso en $\Bbb C$ Así que, desde este punto de vista, son igualmente muchos .
Estas afirmaciones siguen siendo ciertas incluso cuando se consideran sólo los números reales algebraicos y trascendentales.
Jim R.
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