¿Un agujero negro no esférico tiene una distribución de masa como un cuerpo vacío, un cuerpo sólido o un objeto puntiagudo?

Question

Supongamos un agujero negro no esférico (digamos, en rotación o bajo la distorsión de otra fuente de gravedad).

¿Tiene su masa distribuida como si toda la masa estuviera en su superficie, o como si la masa estuviera distribuida en su volumen como cierta densidad o se comportaría como un cuerpo con toda su masa en el centro?

Para un BH esférico sería todo indistinto, pero ¿qué pasa con un caso no esférico?

Answer 1

Advertencia al lector: la votación actual de la comunidad sobre esta respuesta sugiere que no tiene suficientes advertencias sobre cómo la mezcla de cálculos clásicos y relativistas es una receta para decir cosas que no tienen sentido de forma erudita. Debería haber una advertencia de este tipo después de cada frase. Véase también los comentarios. Dicho esto:

Se puede sondear la distribución de la masa de un objeto esféricamente simétrico haciéndolo girar y midiendo su momento de inercia, $I = J/\Omega$ . Una esfera sólida clásica con masa $M$ y el radio $R$ tiene $I_\text{solid}=\frac25MR^2$ mientras que una cáscara esférica delgada con la misma masa y radio tiene la mayor $I_\text{shell}=\frac23MR^2$ porque la mayor parte de la masa está más lejos del eje de rotación.

Un agujero negro en rotación tiene una relación no lineal entre $J$ y $\Omega$ . Utilizando esta notación ( ver también ), incluyendo el radio gravitacional $R_G = GM/c^2$ , hay un parámetro $-\pi/2 \leq \Phi \leq \pi/2$ que caracteriza la rotación por

$$ a = \frac{J}{Mc} = R_G\cos\Phi $$

En este caso $\Phi=0$ (o $a=R_G$ ) corresponde a un agujero negro de Kerr de máxima rotación y $|\Phi|=\pi/2$ colapsa al caso no rotatorio. El agujero negro en rotación tiene horizontes de sucesos "exteriores" e "interiores" con radios

$$ r_\pm = R_G\cdot(1\pm\sin\Phi) = R_G \pm \sqrt{R_G^2 - a^2} $$

El radio exterior, $r_+\to2R_G$ es el radio de Schwartzchild, el tamaño del horizonte de sucesos en el límite no rotatorio. También hay frecuencias angulares asociadas a estos horizontes,

\begin{align} \Omega_\pm &= \frac{c\cos\Phi}{2r_\pm} = \frac{ca}{2R_G^2 \pm 2R_G\sqrt{R_G^2 - a^2}}, \end{align}

aunque interpretando $\Omega$ como la frecuencia angular de un objeto clásico rígido plantea algunas cuestiones espinosas. La definición puede resolverse para el momento angular específico $a$ :

\begin{align} a = \frac{J}{Mc} &= \frac\Omega{c} \frac{4R^2}{1 + (2R\Omega/c)^2} \quad(\text{both of }\Omega_\pm) \\ J &= \frac{4}{1 + (2R\Omega/c)^2}\times MR^2\Omega \end{align}

Esto sugiere que podrías considerar un "momento de inercia" $I=J/\Omega$ de

\begin{align} I_\text{slow} &\approx 4MR_G^2 \approx Mr_+^2 \\ I_\text{max} &= 2MR_G^2 = 2Mr_+^2 \end{align}

Es interesante. Al encontrar los momentos de inercia en la física clásica uno siempre encuentra $I=fMR^2$ por análisis dimensional, y si el radio $R$ es el tamaño máximo del objeto giratorio siempre se encuentra $f\leq1$ . Para ambos límites del momento de inercia aquí, el coeficiente es $f\gt1$ que (combinado con la suposición por defecto de simetría esférica) sugiere que $R_G$ es un subestimar del tamaño clásico de la distribución de la masa giratoria. Si se quiere una esfera de masa $M$ para tener el mismo momento de inercia calculado clásicamente que un agujero negro sin o con rotación lenta con esa masa, habría que hacer una cáscara esférica o una esfera de densidad uniforme con un radio mayor que el radio de Schwartzchild del horizonte de sucesos. (Una cáscara hueca y delgada iría a $\sqrt6 R_G = 1.23 r_+$ .) El agujero negro de máximo giro, que tiene un horizonte de sucesos exterior de tamaño $r_+=R_G$ También tiene un momento de inercia "demasiado grande".

Conclusión : Utilización de las consideraciones clásicas sobre el momento de inercia para analizar los datos sobre $J/\Omega$ para los agujeros negros en rotación le llevaría a requerir que parte o toda su distribución de masa estuviera fuera de sus horizontes de sucesos.

Personalmente, lo encuentro satisfactorio en un sentido de agitación y de no-matía. Al fin y al cabo, ya no interactuamos con la materia que ha cruzado el horizonte de sucesos. Si la distribución masa-energía de un agujero negro se encontrara realmente dentro de su horizonte de sucesos, ¿no podríamos interactuar con él? En el electromagnetismo, la energía se almacena en los campos y el gravitacional campo de un agujero negro ciertamente se extiende fuera de su horizonte, así que tal vez no sea una locura localizar parte de la densidad de energía cerca pero fuera del horizonte de sucesos. Pero esta interpretación, que se hace a mano, probablemente no sobreviviría al contacto con un relativista cuidadoso.