Verificar la condición de Lipschitz de $f(t,x)=t^3e^{-tx^2}$ , $(t,x)\in [0,1]\times \mathbb{R}$

Question

Verificar la condición de Lipschitz para $f(t,x)=t^3e^{-tx^2}$ , $(t,x)\in [0,1]\times \mathbb{R}$ . Estoy teniendo grandes problemas para resolver este problema. Estoy utilizando la fórmula $\frac{|f(t,x_1)-f(t,x_2)|}{|x_1-x_2|}$ y me sale $t^3\cdot\frac{|e^{-tx_1^2}-e^{-tx_2^2}|}{|x_1-x_2|}$ pero no sé qué más hacer.

Answer 1

Sugerencia: Si muestra que $|\nabla f(t,x)|$ está acotado en $[0,1]\times \mathbb R,$ entonces la desigualdad del valor medio le da Lipschitz.