Contraejemplo sobre el lema de Jones con condición débil especial.

Question

El lema de Jones es una escala para reconocer que un espacio topológico no es normal. Este lema nos dice, si El espacio topológico $X$ tiene un subconjunto denso $D$ y un subconjunto discreto cerrado $S$ con la propiedad de que $2^{|D|} \le|S|$ no puede ser un espacio normal. Pero creo que no hay ningún contraejemplo aparente sobre la condición más débil de este lema como sigue.

Q. ¿Hay algún ejemplo de espacio normal $X$ que tiene un subconjunto denso $D$ y un subconjunto discreto $S$ con la propiedad de que $2^{|D|} \le|S|$ ?

Answer 1

Sí, tomemos, por ejemplo, el plano de Sorgenfrey $P$ . Un ejemplo estándar de un espacio no normal. Es separable y su antidiagonal $\lbrace (x,-x):x\in\mathbb{R}\rbrace$ es cerrado y discreto, por lo que el lema de Jones es aplicable en este caso. Tomemos cualquier compactación Hausdorff de $P$ ; el resultado es un espacio normal separable y ahora la antidiagonal es un subespacio relativamente discreto de la cardinalidad correcta.