La forma de Planck de la ley de distribución de Wien

Question

¿Puede alguien explicar cómo la ley de distribución de Wien vista en el original de Wien "Sobre la división de la energía en el espectro de emisión de un cuerpo negro":

$$ \phi_\lambda = \frac{C}{\lambda^5} e^{-\frac{c}{\lambda \theta}},$$

donde (utilizando la notación de Wien) $\phi_\lambda$ es la intensidad, $\lambda$ es la longitud de onda, $C$ y $c$ son constantes y $\theta$ es la temperatura, se convierte en "Sobre la ley de distribución de la energía en el espectro normal" de Planck (en la notación de Planck)

$$ E.d\lambda = \theta^5 \psi(\lambda \theta).d\lambda, $$

donde $E$ es la energía, $\lambda$ es la longitud de onda y $\theta$ es la temperatura.

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SOLUCIÓN: Queremos demostrar que la expresión de Planck $E = T^5 \psi (\lambda T)$ es equivalente a la ley de distribución de Wien, que tiene una forma general $E = F(\lambda)e^{-\frac{f(\lambda)}{T}}$ pero que en términos más concretos (como muestra Wien) debe ser $E = \frac{C}{\lambda^5}e^{-\frac{c_1}{\lambda T}}$

En primer lugar, dividimos la H.R. por $c^4$ que, a diferencia del caso de Planck, en el que se ocupa más de la frecuencia, aquí, en la expresión de la longitud de onda, $c^4$ no se encuentra en ninguna parte. No obstante, haremos la división, por el bien de la discusión y obtendremos

$$E = C T^5 \psi (\lambda T),$$

donde $C = \frac{1}{c^4}$ . A continuación, multiplicaremos y dividiremos el h.r. por $\lambda^5$ y obtendrá

$$ E = \frac{C}{\lambda^5} (\lambda T)^5 \psi (\lambda T) $$

De lo anterior obtenemos

$$F(\lambda) = \frac{C}{\lambda^5}$$

y

$$e^{-\frac{c_1}{\lambda T}} = (\lambda T)^5 \psi (\lambda T).$$

Así, la función $\psi(\lambda T)$ en \S6 del documento de Planck debe ser

$$\psi (\lambda T) = \frac{e^{-\frac{c_1}{\lambda T}} }{(\lambda T)^5}$$

para que las expresiones de Planck y Wien sean equivalentes. La función $\psi$ sin embargo, no constituye toda la parte del exponente, que es $(\lambda T)^5 \frac{e^{-\frac{c_1}{\lambda T}}} {(\lambda T)^5} = e^{-\frac{c_1}{\lambda T}}$ y eso, efectivamente, hace que las dos expresiones sean equivalentes.

Answer 1

Los dos son claramente compatibles, ya que podemos tomar $$\psi(x) = \frac{1}{x^2}e^{-c/x}$$ que da la ley de Wien en la forma indicada por el OP. En el documento original de Wien El autor parte de una versión de la ley que parece incompatible con la expuesta por Planck: $$\phi_\lambda = F(\lambda) e^{-f(\lambda)/\theta}$$ donde $\theta$ es la temperatura, según la costumbre de la época. El artículo original de Planck menciona una referencia específica para la fórmula que utiliza: M. Thiesen. Ver. Deutsch. Phys. Ges. , 1900, 2, 66. La revista referenciada puede encontrarse aquí . M. Thiesen no proporciona una derivación, pero cita a Wien, a pesar de señalar que

El texto de la ley que se ofrece aquí no se encuentra en Wien

que significa (la traducción es mía):

La fórmula dada aquí no está presente en la obra de Wien

No he podido encontrar los dos documentos a los que hace referencia M. Thiesen. Sin embargo, he conseguido encontrar esta carta enviado a Nature en 1948 por E.O. Hercus ("The Proof of Wien's Law"), que es una breve revisión de la prueba de Wien de la afirmación de Planck, que aparentemente implica consideraciones bastante complicadas sobre la luz en una cavidad cilíndrica.

No he podido encontrar el artículo de referencia de Wien, pero he conseguido encontrar otra de las referencias, el libro "The Electron Theory of Matter" de O. Richardson, que da una prueba en las páginas 339-342. La prueba implica muchas consideraciones geométricas sobre la luz en una caja cilíndrica, algunas consideraciones experimentales y la ley de Stefan-Boltzmann.

EDITAR. Quizás sea útil entender la progresión histórica. Al considerar las cavidades esféricas, Wien (1893-1894) demuestra que $$\phi_\lambda = \theta^5 \psi(\lambda \theta)$$ O lo que es lo mismo, $$\phi_\lambda = \frac{\theta^5 \lambda^5}{\lambda^5} \psi(\lambda \theta)=\frac{1}{\lambda^5} \chi(\lambda \theta)$$ donde hemos definido una nueva función $\chi(\lambda\theta) = (\lambda\theta)^5 \psi(\lambda \theta)$ . Las funciones $\chi$ y $\psi$ son desconocidos . Así lo subraya Richardson (p. 343):

Es probable que las relaciones (23) y (24) que implican las funciones universales indeterminadas $\phi$ y $\chi$ del argumento $\lambda T$ son lo más lejos que podemos llegar, a partir de consideraciones muy generales como las que se han empleado anteriormente.

donde el autor adopta una notación diferente (su $\phi$ es nuestro $\psi$ y $T$ es la temperatura). Sin embargo, hay que señalar que esto es suficiente para establecer un resultado muy importante, la ley de desplazamiento de Wien. En efecto, al diferenciar $\phi_\lambda$ :

$$\frac{\partial \phi_\lambda}{\partial \lambda} = \lambda^{-6} \left[\lambda \theta \chi'(\lambda \theta) -5\chi(\lambda\theta) \right]$$

por lo que el máximo de $\phi_\lambda$ se da poniendo a cero lo que hay dentro de los corchetes. Lo relevante es que esta cantidad sólo depende del producto $\lambda \theta$ por lo que si se alcanza un máximo, será en $\lambda \theta=b$ para algunos $b$ . Esta es la ley de desplazamiento de Wien.

Posteriormente, Wien (1896) intenta obtener una fórmula explícita para la función $\chi$ (o, por el contrario, para $\psi$ ). Y lo hace por un camino completamente diferente, que se ilustra en el documento al que hace referencia el OP. El resultado que obtiene es más específico (emplea una serie de supuestos, véase el propio documento) pero, como se menciona al principio, es compatible con el resultado anterior.