Composición de mapas de flujo de sistemas hamiltonianos

Question

Dado un par de campos vectoriales hamiltonianos autónomos $X_H,X_K\in\mathfrak{X}(M)$ con mapas de flujo que son respectivamente $\Phi^t,\Psi^s$ es $\Phi^t\circ \Psi^s$ el $(t+s)-$ ¿mapa de flujo de algún sistema hamiltoniano? Creo que este es el caso, posiblemente con el mapa final siendo el flujo de un sistema Hamiltoniano dependiente del tiempo.

Sé que el mapa de composición es un simplectomorfismo. Sin embargo, como no todas las funciones de este espacio son flujos de sistemas hamiltonianos, no estoy seguro de la respuesta a esta pregunta.

---

A continuación, una explicación adicional de lo que me interesa.

No quiero decir que para cualquier $t$ y $s$ el hamiltoniano del campo vectorial resultante no cambia. Más precisamente, aquí hay algunos ajustes que, para mi interés, no son contraejemplos: $$ \Phi^t\circ \Psi^s = \varphi_{X_L}^{t+s} $$ $$ \Psi^t\circ \Phi^s = \alpha_{X_R}^{t+s} $$ $$ \Phi^u\circ \Psi^v = \varphi_{X_W}^{u+v}, $$ donde $L,R,W$ son tres funciones hamiltonianas que posiblemente no coincidan.

Esto significa que, cuando fijamos $t$ y $s$ existe un campo vectorial hamiltoniano $X_{U}$ para que su $(t+s)-$ es el mismo mapa que $\Phi^t\circ \Psi^s$ .

Answer 1

En primer lugar, la longitud del intervalo de tiempo de parametrización no importa: si $\phi_t$ es el flujo de $X_t$ para $t \in [0, T]$ es decir $\frac{d}{dt} \phi_t(x)=X_t(\phi_t(x))$ entonces definiendo $\psi_s=\phi_{Ts}$ con $s\in [0,1]$ uno tiene $\frac{d}{ds} \psi_s(x)=TX_{Ts}(\phi_{Ts}(x))$ . Esto dice que la reparametrización $\psi_s$ es generado por $Y_s=TX_{Ts}$ . Por supuesto, si $X_t$ es hamiltoniano, entonces también lo es $Y_s$ y viceversa.

Por lo tanto, podemos suponer que tanto $\Phi$ y $\Psi$ son mapas de tiempo 1 de sistemas hamiltonianos, es decir $\Phi=\phi_1$ para una familia $\phi_t$ con $t\in[0,1]$ y $\Psi=\psi_1$ para una familia $\psi_t$ con $t\in[0,1]$ . Denotemos los correspondientes campos vectoriales hamiltonianos por $X_t$ y $Y_t$ . Ahora, considere

$$\theta_t=\phi_t\cdot \psi_t$$ para que

$$\Theta=\theta_1=\phi_1\cdot \psi_1=\Phi\cdot\Psi.$$

Sólo tenemos que demostrar que $\theta_t$ es una familia de difeos hamiltonianos. Por supuesto, esto significa que tenemos que calcular el campo vectorial generador (dependiente del tiempo) y ver que es hamiltoniano.

Para ello, diferenciamos

$$\frac{d}{dt}\theta_t(x)=\frac{d}{dt}(\phi_t\cdot \psi_t(x))=$$ $$ (\frac{d}{dt}\phi_t)(\psi_t(x))+(\phi_t)_*(\frac{d}{dt}\psi_t(x))=$$ $$X_t(\phi_t(\psi_t(x)))+(\phi_t)_*(Y_t(\psi_t(x)))=X_t(\theta_t(x))+(\phi_t)_*Y_t(\phi_t^{-1}\theta_t(x))$$

así que $\theta_t$ es generado por el campo vectorial $Z_t(x)=X_t(x)+(\phi_t)_*Y_t(\phi_t^{-1}(x))$ .

Ahora sólo queda demostrar que esto es hamiltoniano. ¿Cuál es la función correspondiente? Bien, si la función para $X_t$ es $H_t$ y para $Y_t$ es $K_t$ entonces afirmo que para $Z_t$ es $H_t+K_t\cdot\phi_t^{-1}$ . Por supuesto que es el $K_t\cdot\phi_t^{-1}$ parte es la cuestión. La naturalidad de los campos vectoriales hamiltonianos bajo difeos simplécticos significa que para cualquier función $K$ y cualquier simplectomorfismo $f$ tenemos $ f_*(X_{K\cdot f}(p))=X_K(f(p))$ . Aplicado a $f=\phi^{-1}$ esto da lo que queremos.

Como observación, se da el caso de que necesitamos flujos dependientes del tiempo. De hecho, de la simplicidad del grupo de difeos hamiltonianos se deduce que todo difeomorfismo hamiltoniano es un producto de difeos autónomos (es un bonito ejercicio comprobar que la inversa de un difeo hamiltoneano autónomo es también autónomo, por lo que el conjunto de difeos hamiltoneanos que son un producto finito de difeos autónomos forma un subgrupo invariante de conjugación, por lo que es el grupo entero), pero a veces se necesitan muchos de ellos de forma arbitraria (véase https://arxiv.org/abs/1207.0624 y el trabajo de seguimiento).