En primer lugar, demostremos que, dadas estas matrices $U$ y $V$ las matrices $UX^{-1}$ y $VX^T$ (con $X \in GL_t$ ) dan lugar a una descomposición válida. Nótese que las columnas de $U,V$ corresponden a una descomposición de $A$ si y sólo si $UV^T = A$ . Por lo tanto, basta con observar que para cualquier $X \in GL_t$ tenemos $$ (UX^{-1})(VX^T)^T = UX^{-1}XV^T = UV^T = A. $$ Ahora, queremos demostrar que todas estas descomposiciones pueden alcanzarse de esta manera (es decir, la acción de $GL_t$ es transitiva). En primer lugar, hay que tener en cuenta que basta con considerar el caso en el que $A = I$ (donde $I$ denota la matriz de identidad): $A = UV^T$ se mantiene si $I = (A^{-1}U)V^T$ se mantiene.
Por lo tanto, estamos considerando todos los pares de matrices $U,V \in \Bbb C^{n \times t}$ para lo cual $UV^T = I$ . En primer lugar, consideramos sólo los pares para los que tenemos $$ U = U_0 := \pmatrix{I_n & 0}. $$ Verifique que un $n \times t$ matriz $V$ satisfará $U_0V^T = I$ si y sólo si $V = \pmatrix{I & W}$ donde la matriz $W$ de tamaño $n \times (t-n)$ pueden ser elegidos libremente.
Reclamación: La acción de $GL_t$ es transitiva sobre todos los pares $U,V$ satisfaciendo $UV^T = I_n$ para lo cual $U = U_0$ .
Prueba de reclamación: Basta con demostrar que un par arbitrario $U_0,V$ se encuentra dentro de la órbita de $U_0,U_0$ . Como se ha comentado anteriormente, debe sostener que $V$ tiene la forma $V = \pmatrix{I_n & W}$ . Sea $X$ sea la matriz $$ X = \pmatrix{I_n & 0\\-W^T & I_{t-n}}. $$ Verifique que este $X$ satisface $U_0 X^{-1} = U_0$ y $V X^T = U_0$ . $\square$
Una vez demostrada la afirmación, basta con observar que para cualquier par $U,V$ con $UV^T = I_n$ existe una matriz $X \in GL_t$ tal que $UX^{-1} = U_0$ . Para ello, basta con señalar que $U$ debe tener filas linealmente independientes (ya que tiene rango de fila completo $n$ ), lo que significa que existe una matriz $X \in GL_t$ cuya primera $n$ las filas son la matriz $U$ lo que significa que esta matriz satisfará $U_0X = U$ y por lo tanto $U_0 = UX^{-1}$ .
En cuanto a la naturaleza de estas descomposiciones, sospecho que podría ser útil tomar una Estabilizador orbital tipo de enfoque. En particular, sospecho que la dimensión de la variedad de tales pares será la dimensión total de la variedad $GL_t$ (A saber, $t^2$ ) menos la dimensión del subgrupo de estabilizadores de cualquier par particular $U,V$ .
Para entender el subgrupo de estabilizadores, basta con observar el único par en el que $U = V = U_0$ con $U_0$ como se ha definido anteriormente. Obsérvese que $U_0X^{-1} = U_0$ se mantiene si y sólo si $X$ tiene la forma $$ X = \pmatrix{I_n & 0\\X_{21} & X_{22}}. $$ Por otro lado, dicha matriz $X$ satisfará $U_0X^T = U_0$ si y sólo si satisface además $$ X = \pmatrix{I_n & 0\\0 & X_{22}}. $$ Así, el subgrupo estabilizador es isomorfo a $GL_{t-n}$ que tiene dimensión $(t-n)^2$ . Con ello, concluimos que la dimensión de la variedad de pares $U,V$ satisfaciendo $UV^T = I$ será $$ t^2 - (t-n)^2 = n(2t-n). $$ Por la correspondencia descrita anteriormente, lo mismo debería ocurrir con el conjunto de pares que satisfacen $UV^T = A$ para cualquier elemento $A \in GL_n$ .
