Varianza de dos variables aleatorias ponderadas

Question

Déjalo:

Desviación estándar de la variable aleatoria $A =\sigma_{1}=5$

Desviación estándar de la variable aleatoria $B=\sigma_{2}=4$

Entonces la varianza de A+B es:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Dónde:

$p_{1,2}$ es la correlación entre las dos variables aleatorias.

$w_{1}$ es el peso de la variable aleatoria A

$w_{2}$ es el peso de la variable aleatoria B

$w_{1}+w_{2}=1$

La figura siguiente representa la varianza de A y B a medida que el peso de A cambia de 0 a 1, para las correlaciones -1 (amarillo),0 (azul) y 1 (rojo).

¿Cómo es que la fórmula da como resultado una línea recta (roja) cuando la correlación es 1? Por lo que sé, cuando $p_{1,2}=1$ la fórmula se simplifica a:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

¿Cómo puedo expresar eso en forma de $y=mx+c$ ?

Gracias.

Answer 1

Utilizando $w_1 + w_2 = 1$ , computa

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} } $$

Esto demuestra que cuando $\sigma_1 \ne \sigma_2$ el gráfico de la varianza frente a $w_1$ (mostrado de lado en la ilustración) es un parábola centrado en $\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$ . Ninguna porción de cualquier parábola es lineal. Con $\sigma_1 = 5$ y $\sigma_2 = 4$ El centro está en $-5$ : muy por debajo de la gráfica en la escala en la que está dibujada. Por lo tanto, usted está viendo un pequeño pedazo de una parábola, que aparecerá lineal.

Cuando $\sigma_1 = \sigma_2$ la varianza es una función lineal de $w_1$ . En este caso, el gráfico sería un segmento de línea perfectamente vertical.

Por cierto, usted conocía esta respuesta ya, sin cálculo, porque los principios básicos implican que la gráfica de la varianza no puede ser una línea a menos que sea vertical. Al fin y al cabo, no hay ninguna prohibición matemática o estadística que restrinja $w_1$ para estar entre $0$ y $1$ : cualquier valor de $w_1$ determina una nueva variable aleatoria (una combinación lineal de las variables aleatorias A y B) y por lo tanto debe tener un valor no negativo para su varianza. Por lo tanto, todas estas curvas (incluso cuando se extienden a toda la gama vertical de $w_1$ ) debe estar a la derecha del eje vertical. Eso excluye todas las líneas excepto las verticales.

Gráfico de la varianza para $\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$ :

Answer 2

No es lineal. La fórmula dice que no es lineal. Confía en tu instinto matemático.

Sólo aparece lineal en el gráfico debido a la escala, con $\sigma_{1}=5$ y $\sigma_{2}=4$ . Pruébelo usted mismo: calcule las pendientes en algunos lugares y verá que difieren. Puedes exagerar la diferencia eligiendo $\sigma_{1}=37$ digamos.

Aquí hay algo de código R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Si desea comprobar algunas pendientes:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1