Regularidad de la medida exterior de Lebesgue

Question

La terminología en esta área es algo confusa, mi pregunta es cómo probar:

Dado $E \subseteq \mathbb{R}$ existe un conjunto medible de Lebesgue $A$ tal que $E \subseteq A$ y $\lambda^*(E) = \lambda^*(A)$ .

Algunos autores llaman a esto $A$ una cobertura medible de $E$ .

Agradecería que la prueba fuera tan sencilla a partir de la definición de $\lambda^*$ como sea posible y si no hay un principio de elección más fuerte que CC $(\mathbb{R})$ se utilizó.

Mil gracias,

S.

Edición: Se puede suponer que $\lambda^*(E) < \infty$ .

Answer 1

Si recuerdo bien una definición de la medida exterior de Lebesgue entonces parece lo siguiente.

Para cada natural $n$ existe una cubierta $\mathcal C_n$ del conjunto $E$ por intervalos abiertos tales que $\sum\{\lambda(C):C\in\mathcal C_n\}<\lambda^*(E)+1/n.$ A continuación, un conjunto $A=\bigcap_n\bigcup C_n$ es Borel (por lo tanto, medible por Lebesgue), $E\subset A$ y $\lambda^*(E)=\lambda(A).$