Curioso dominio de convergencia para $x_n$ definido por $(a_1 n+ b_1) x_{n+2} = (a_2 n + b_2) x_{n+1} - (a_3 n + b_3) x_n$

Question

¿Cuáles son las condiciones de $a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3$ y en los valores iniciales $x_1, x_2$ para $x_n$ para converger a un valor diferente de cero? Podemos suponer que $a_1=1$ . También necesitamos $a_1 = a_2 - a_3$ y $b_1 = b_2 - b_3$ pero esto no es suficiente para garantizar la convergencia.

Podemos incluso suponer que $x_1=0, x_2 = 1$ Ver la discusión detallada sobre estas recurrencias en mi pregunta anterior, aquí . En definitiva, sólo hay 3 parámetros libres, que caracterizan todas las recurrencias que sí convergen.

Como punto de partida, consulte el siguiente cuadro para

$$2(n+2)x_{n+2}=(r (n+2) + s)x_{n+1} + ((2-r)(n+2)-s)x_n$$

con $x_0=0, x_1=1$ . Este gráfico bidimensional representa una porción de todas las posibles representaciones de parámetros tridimensionales que conducen a la divergencia. El eje X representa $r$ el eje Y representa $s$ . He probado con 400.000 valores de $(r, s)$ para comprobar cuáles dan lugar a una convergencia real. Los puntos azules representan los puntos $(r,s)$ tal que $|x_{40} - x_{39}|<0.000001$ . La zona azul está llena de agujeros porque sólo he utilizado 400.000 valores de $(r, s)$ en este experimento. Si utilizas 10.000.000 de valores, los límites serán más suaves y los agujeros de la zona azul desaparecerán.

Estas recurrencias pueden ser representadas por funciones hipergeométricas generalizadas y, según la Wikipedia, el estado de convergencia se suele estudiar por separado para cada recurrencia. Sin embargo, mi gráfico sugiere que existe una ley general que rige la convergencia (o la falta de ella) para estas recurrencias. Es un problema matemático interesante, y también de interés para los estadísticos que están interesados en estimar los límites (en el espacio de los parámetros) de la región de convergencia, y probar si los límites son líneas paralelas.

Más casos

En este caso, se trata del caso general, que puede escribirse como $$2(n+q)x_{n+2}=(r (n+q) + s)x_{n+1} + ((2-r)(n+q)-s)x_n$$

Los gráficos que se muestran a continuación dan una idea de la forma de las regiones de convergencia/fronteras en el espacio completo de los parámetros tridimensionales.

Caso $q=1$ :

Caso $q=5$ :

Si el tiempo me lo permite, intentaré crear una imagen en 3D del límite, tal vez una giratoria para que se pueda ver bajo diferentes ángulos.

Answer 1

La representación $2(n+q)x_{n+2}=(r (n+q) + s)x_{n+1} + ((2-r)(n+q)-s)x_n$ es de hecho estándar, y cubre todos los casos en los que podría producirse la convergencia (aparte de la convergencia a $0$ ). El dominio de convergencia de los parámetros $q, r, s$ no depende de $x_0, x_1$ a menos que $x_0 = x_1$ En ese caso $x_n=x_0$ para todos $n$ independientemente de $q, r, s$ . Dividiré mi respuesta en dos partes: los resultados empíricos primero, y los resultados basados en la teoría al final.

Resultados empíricos

A continuación se muestra el dominio de convergencia, en azul, cuando $q=3.12345$ . Añadiré más casos (otros valores de $q$ ) con su correspondiente parcela. Parece que la forma de la zona azul es bastante estable (se piensa que se ha desplazado y encogido o inflado) si $q$ es diferente. No se trata de una banda como se pensaba inicialmente, sino de una zona delimitada, y el límite es una curva. Esto no se aprecia en mi pregunta original, porque me fijé en los valores de $s$ sólo entre $-15$ y $+15$ . Aquí he mirado $s$ entre $-150$ y $+150$ .

Los filamentos (y se extienden en la zona central aunque no es visible en el gráfico de abajo) corresponden a casos molestos de convergencia, que me gustaría excluir. Por ejemplo, cuando todos los $x_n$ son idénticos después de un número fijo de iteraciones.

A continuación se muestra el gráfico correspondiente a $q=3.12345$ :

A continuación se muestra el gráfico correspondiente a $q=5.0918543$ :

A continuación se muestra el gráfico correspondiente a $q=-0.4539$ :

A continuación se muestra el gráfico correspondiente a $q=-1.4539$ :

A continuación se muestra el gráfico correspondiente a $q=-0.98$ :

A continuación se muestra el gráfico correspondiente a $q=3$ :

Los casos $q=0, -1,-2, \cdots$ son singulares. También hay que tener en cuenta que los resultados aquí obtenidos son empíricos y están sujetos a la precisión de la máquina. El aumento de la precisión de la máquina amplía el dominio azul, aunque la forma no cambia.

Resultados teóricos

En muchos casos (véase aquí ), $x_{\infty}$ se puede expresar como una serie clásica y la convergencia se puede estudiar fácilmente. La mayoría de estas series implican sólo dos parámetros, mientras que nuestra recurrencia tiene tres parámetros, por lo que no es seguro que el problema pueda resolverse fácilmente en su totalidad sobre la base de esta estrategia, pero al menos parcialmente seguro.

Por ejemplo, $x_n=\sum_{k=0}^{n} \frac{\alpha^k}{k+\beta}$ puede expresarse como una recurrencia de nuestra familia: $$(n+2+\beta)x_{n+2}=(n(\alpha +1)+\alpha+2+\beta(\alpha+1))x_{n+1}-(n+1+\beta)\alpha x_n$$ y sabemos que la convergencia se produce si y sólo si $-1 \leq \alpha < 1$ . En este caso, $q=\beta+2$ (asumimos aquí que $q \neq 0, -1, -2$ y así sucesivamente).

Una serie más general a tener en cuenta es la función hipergeométrica . Definir $x_n$ como la primera $n+1$ términos de la serie que define esa función. En efecto, esto podría abarcar todos los casos, es decir, todos los valores de $q, r, s$ . Pronto habrá más información al respecto.

Ejercicio : Si $q=3, r=-0.4, s = 14.4, x_0=0, x_1=1$ , demuestre que $x_n=1.24$ si $n \geq 2$ .

Answer 2

Considerando $u_n = x_n$ y $v_n = x_{n+1}$ tenemos el sistema equivalente

$$ \left( \begin{array}{c} u_{n+1} \\ v_{n+1} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{(n+q) r-s}{2 (n+q)} & \frac{(n+q) (2-r)-s}{2 (n+q)} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} u_n \\ v_n \\ \end{array} \right) $$

este sistema es estable en cuanto a

$$ \text{Eigenvalues} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -\frac{(n+q) r-s}{2 (n+q)} & \frac{(n+q) (2-r)-s}{2 (n+q)} \\ \end{array} \right) \lt 1 $$

o

$$ \cases{ \left|-\frac{\sqrt{2 (r-6) s (n+q)+((r-12) r+4) (n+q)^2+s^2}+n (r-2)+q (r-2)+s}{4 (n+q)}\right|\lt 1\\ \left|\frac{\sqrt{2 (r-6) s (n+q)+((r-12)r+4) (n+q)^2+s^2}-r (n+q)+2 n+2 q-s}{4 (n+q)}\right|\lt 1 } $$

Answer 3

He decidido añadir otra respuesta porque ésta es mucho más general, mucho más compacta y cubre casi todos los casos.

Dejemos que $$x_n=\sum_{k=0}^n a^kf(k), \mbox{ with } \frac{f(n+2)}{f(n+1)} =\frac{n+c}{n+d}, n\geq 0.$$ Tenemos $$(n+d)x_{n+2}=(n+an+d+ac)x_{n+1}-(na+ca)x_n$$ La forma estándar es $$2(n+q)x_{n+2}=(r (n+q) + s)x_{n+1} + ((2-r)(n+q)-s)x_n,$$ se deduce que $$q=d, r=2(1+a), s=2a(c-d), \mbox{ that is, } a=\frac{r}{2}-1, c=\frac{s}{r-2} +q, d=q.$$ Para $n\geq 2$ , suponiendo que $x_0=f(0), x_1=f(0)+af(1)$ también tenemos $$x_n=f(0) + af(1) +af(1) \sum_{k=2}^n\prod_{i=0}^{k-2}\frac{a(c+i)}{d+i}.$$ Por tanto, tenemos convergencia si $|a|< 1$ es decir, si $|r-2|<2$ . Si (digamos) $a=1$ También puede producirse una convergencia, por ejemplo cuando $d>c+1$ . Voy a comprobar por qué en mis gráficos anteriores, la convergencia también parecía producirse con valores de $r$ menos de $0$ .

Nota

Algunos casos de convergencia son artificiales y deben descartarse, en particular si todos los $x_n$ después de un número de iteraciones, son idénticas. Esto sucede si para algunos $n^*$ tenemos $x_n=x_{n+1}$ si $n\geq n^*$ , lo que ocurre sólo cuando $c=\frac{s}{r-2}$ es un número entero negativo. Este es el caso del ejercicio que aparece al final de mi respuesta anterior a esta pregunta.

Ejercicios

Aquí asumimos que $x_0=0$ y $x_1=1$ .

1. Si $s=q=0$ , demuestre que $x_\infty = \frac{2}{4-r}$ .
2. Si $0<r<2,s<(q+2)(2-r)$ y $q+2>0$ , demuestre que $0< |x_\infty | < 1$ .