Probabilidad de que $1$ bola roja, $2$ bolas verdes, y $2$ se seleccionarán las bolas amarillas

Question

Pregunta: Un cubo contiene $4$ bolas rojas, $8$ bolas verdes, y $2$ bolas amarillas. Se seleccionan cinco bolas al azar con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que $1$ bola roja, $2$ bolas verdes, y $2$ ¿se seleccionarán las bolas amarillas?

Creo que la probabilidad de seleccionar cada color no cambia ya que la selección es con reemplazo. No creo que pueda utilizar la distribución binomial para esto porque parece que está fuera de lugar. ¿Cómo puedo resolver esto si la binomial no funciona?

Answer 1

Sí, las probabilidades son constantes entre ensayos y los ensayos son independientes. Obsérvese que esto sigue la distribución multinomial con $n = 5$ , $x_1 = 1$ , $x_2 = 2$ , $x_3 = 2$ , $p_1 = \frac{4}{14}$ , $p_2 = \frac{8}{14}$ , $p_3 = \frac{2}{14}$ donde los índices $1, 2,$ y $3$ representan el rojo, el verde y el amarillo, respectivamente. Entonces la probabilidad que buscamos es $$\frac{n!}{x_1!x_2!x_3!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}p_3^{x_3} = \frac{5!}{1!\cdot 2!\cdot2!} \left(\frac{4}{14}\right)^1\left(\frac{8}{14}\right)^2\left(\frac{2}{14}\right)^2\approx 0.0571.$$