Aprendí de Wikipedia que el potencial cuadrupolar $\phi$ de una trampa de iones cuadrupolar es \begin{equation} \phi = \frac{\phi_0}{r_0^2}(\lambda x^2 + \sigma y^2 + \gamma z^2) \end{equation} donde $r_0$ es una constante del parámetro de tamaño y $\lambda, \sigma, \gamma$ son factores de ponderación para las tres coordenadas, también dice que $\phi_0$ es el potencial eléctrico aplicado que es una combinación de CA y CC \begin{equation} \phi_0 = U + V\cos(\Omega t) \end{equation} así que mi pregunta es que cuál es la diferencia entre $\phi$ y $\phi_0$ ? ¿Cuál es el campo de potencial real que siente el ion? Y cómo derivar la primera ecuación(la expresión de $\phi$ )?
Respuesta
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Stefan
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así que mi pregunta es que cuál es la diferencia entre $\phi$ y $\phi_0$ ?
Puede que parte de tu confusión se deba a que has omitido la dependencia de posición y tiempo en tus ecuaciones.
El potencial $\phi(x,y,z,t)$ depende de la posición ( $x,y,z$ ) y el tiempo ( $t$ ). Se puede descomponer en dos factores: Un factor que depende sólo del tiempo ( $t$ ), y otro factor que depende sólo de la posición ( $x,y,z$ ). $$\phi(x,y,z,t)=\frac{\phi_0(t)}{r_0^2}(\lambda x^2+\sigma y^2+\gamma z^2) \tag{1}$$ donde $$\phi_0(t)=U+V\cos(\Omega t) \tag{2}$$ es el potencial eléctrico aplicado por el suministro de tensión externa.
Y cómo derivar la primera ecuación (la expresión de $\phi$ )?
La ecuación (1) puede derivarse de Ecuación de Laplace para el campo potencial $\phi(x,y,z,t)$ $$\Delta\phi= 0 \tag{3a}$$ que es la notación abreviada para $$\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}=0. \tag{3b}$$
La ecuación de Laplace (3) puede derivarse a su vez de Ley de Gauss $$\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{4a}$$ que es la notación abreviada de $$\frac{\partial E_x}{\partial x}+ \frac{\partial E_y}{\partial y}+ \frac{\partial E_z}{\partial z} =\frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{4b}$$ y la definición del potencial eléctrico $\phi$ $$\vec{E}=-\vec\nabla\phi \tag{5}$$ donde $\vec{E}(x,y,z,t)$ es la intensidad del campo eléctrico y $\rho(x,y,z,t)$ es la densidad de carga.
Las cargas eléctricas de los iones atrapados son mucho menores que las cargas de los electrodos metálicos externos. Y por lo tanto, en el espacio entre los electrodos, $\rho(x,y,z,t)$ puede despreciarse y sustituirse por $0$ en la ecuación (4).
Así que hay que resolver la ecuación de Laplace (3) con las condiciones de contorno (dadas por el potencial independiente de la posición en tus electrodos metálicos). Pero al final sólo quieres saber el potencial cerca del centro (pequeño $x$ , $y$ , $z$ ) porque ahí es donde se encuentran sus iones. Por lo tanto puedes despreciar cualquier término de orden superior, como los términos octupolares ( $\propto x^3,x^2y,xy^2,...$ ) que son mucho más pequeños que los términos cuadrupolares. Y debido a la forma geométrica de los electrodos no tienes ningún término dipolar ( $\propto x,y,z$ ) en primer lugar.
