Quiero saber si mi prueba es correcta y si hay alguna forma más fácil de hacerlo. Estoy estudiando grupos por primera vez y actualmente estoy viendo el Teorema del Homomorfismo.
$ D_{6} = \langle a,b | a^{2}=b^{6}=e , ab = b^{-1}a \rangle $ $ \mathbb{Z}_{2} \times S_{3} = \{ (i,id),(i,\alpha),(i,\beta),(i,\beta^2),(i,\alpha \beta), (i,\alpha \beta^2) | i = 0_{2},1_{2}\} $
Estoy llamando $\alpha = (1,2), \beta = (1,2,3)$
Dejemos que $f:\mathbb{Z}_2 \times S_{3} \rightarrow D_{6}$ sea una función tal que
$f((1_{2},\alpha)) = a$
$f((1_{2},\beta)) = b$
Entonces $f((1_{2},\alpha))^2 = f((1_{2},\beta))^6 = e$ se satisface.
$f((1_{2},\alpha))f((1_{2},\beta))f((1_{2},\alpha))=aba$
$f((1_{2},\beta))^{-1} = f((1_{2},\beta)^{-1}) = f((1_{2},\alpha \beta)) = b^{-1}$
Desde $ ((1_{2},\alpha))((1_{2},\beta))((1_{2},\alpha)) = (1_{2},\beta)^{-1}$
Entonces
$ f((1_{2},\alpha))f((1_{2},\beta))f((1_{2},\alpha)) = f((1_{2},\beta))^{-1}$
Entonces estas tres condiciones generarán un grupo con la misma estructura que $D_6$ $\square$
