Todo grupo es el cociente de un grupo libre por un subgrupo normal

Question

¿Por qué todo grupo es el cociente de un grupo libre por un subgrupo normal?

Answer 1

Esta es una de las observaciones más intuitivas de toda la teoría de grupos, e ilustra la operación de cociente de la manera más fundamental.

Voy a dar dos respuestas distintas. La primera es totalmente intuitiva; la segunda es una versión formalizada de la primera.

Primera respuesta: Tome un grupo $G$ . Una relación sobre $G$ es una ecuación satisfecha por algunos de los elementos. Por ejemplo, $eg = g$ donde $e$ es la identidad es una relación satisfecha por todos los elementos del grupo $g \in G$ . Dado que siempre podemos multiplicar por inversos en un grupo, podemos reescribir esta relación como $egg^{-1} = gg^{-1} = e$ es decir, $e = e$ . Esto puede aplicarse a cualquier relación. Si $G$ es abeliano, entonces $ab = ba$ para todos $a,b \in G$ y podemos reescribirlo como $aba^{-1}b^{-1} = e$ .

En otras palabras, una relación afirma que algún producto de elementos del grupo coincide con la identidad, por lo que la única información que necesitamos para entender la relación es el producto que aparece a la izquierda del signo de igualdad.

Ahora bien, todo grupo tiene unas cuantas relaciones que están implicadas directamente por los axiomas de grupo. $aa^{-1} = e$ es uno de ellos. Podemos preguntar si el grupo tiene alguna extra relaciones que no están implícitas en los axiomas de grupo. Si no existen tales relaciones, es decir, si las únicas relaciones que se mantienen son las que deben mantenerse en virtud de los axiomas de grupo, se dice que el grupo es gratis ; el grupo está "libre de relaciones adicionales".

Si tiene un grupo $G$ Una cosa natural que se puede hacer es introducir nuevas relaciones en él y crear así nuevos grupos. Pero no se pueden introducir relaciones completamente aleatorias porque (a) las relaciones no pueden contradecirse entre sí o con relaciones preexistentes y (b) la estructura resultante debe ser de nuevo un grupo. Ya hemos visto que una relación puede especificarse como un producto de elementos de un grupo. Para que las relaciones satisfagan (a) y (b), resulta que es necesario y suficiente que los productos correspondientes formen un subgrupo normal $N$ . El resultado de introducir el conjunto de relaciones $N$ en el grupo $G$ es el cociente $G/N$ .

Cualquier grupo $G$ se puede obtener de esta manera. Se comienza con el grupo libre $F$ cuyos generadores son elementos de $G$ considerado como un conjunto . Y luego se miran todas las relaciones adicionales que satisfacen los elementos de $G$ y reunirlos en un subgrupo normal $N$ . Entonces $G = F/N$ por lo anterior.

Segunda respuesta: Dado cualquier conjunto $S$ el grupo libre en $S$ es que el grupo $F(S)$ para la cual toda función $f : S \rightarrow G$ de $S$ a un grupo arbitrario $G$ se extiende a un único homomorfismo $\tilde{f} : F(S) \rightarrow G$ . Hay varias formas de construir $F(S)$ explícitamente. Por ejemplo, puede tomar $F(S)$ para consistir en palabras sobre el alfabeto cuyas letras son elementos de $S$ y $S'$ , donde $S'$ tiene la letra $s^{-1}$ (un símbolo de momento) para cada símbolo $s \in S$ . Es importante tener en cuenta que $F(S)$ en realidad contiene clases de equivalencia de palabras, porque introducimos las reglas de cancelación obvias; por ejemplo $abb^{-1}c$ puede reducirse mediante la cancelación a $ac$ . Hay que demostrar que todos los posibles algoritmos de reducción dan la misma palabra reducida; omitiré ese paso.

También tiene que demostrar que este grupo $F(S)$ satisface la propiedad universal indicada. No voy a demostrar esto en detalle, pero es más o menos intuitivo. Dado que $\tilde{f}$ tiene que ser un homomorfismo, encontramos, por ejemplo, que $\tilde{f}(ab) = \tilde{f}(a) \tilde{f}(b) = f(a)f(b)$ . En general, ya que $f$ se define para todos los elementos de $S$ , $\tilde{f}$ se define así de forma única para todos los elementos de $F(S)$ . [Por un razonamiento similar se puede determinar que es suficiente conocer los valores de un operador lineal sobre los elementos de una base de un espacio vectorial].

Así que empezamos con nuestro grupo $G$ que queremos escribir como cociente de un grupo libre. ¿Qué grupo libre? Aquel grupo libre cuyos generadores son los símbolos de $G$ . Así que elegimos $F(G)$ . Ahora tenemos que introducir las relaciones necesarias para colapsar $F(G)$ en $G$ . ¿Cómo lo llevamos a cabo? Por la primera respuesta, podríamos lograrlo fácilmente si sólo conociéramos el subgrupo normal $N$ de relaciones, pero parece que en este caso general no sabemos realmente $N$ concretamente.

De hecho, podemos averiguar $N$ de la siguiente manera. Podemos tomar el mapa de identidad $f : G \rightarrow G$ y extenderlo a un homomorfismo $\tilde{f} : F(G) \rightarrow G$ . La extensión $\tilde{f}$ es en general no inyectiva, y su núcleo es precisamente el grupo de relaciones $N$ ¡! (Formalmente esto es una aplicación de uno de los teoremas estándar sobre homomorfismos). Entonces $G = F(G)/N$ como antes.

Answer 2

Es una consecuencia de la propiedad universal de los grupos libres.

Si $X$ es un conjunto, entonces el grupo libre en $X$ , $F(X)$ es un grupo $F(X)$ que contiene $X$ como subconjunto, y tal que para cada grupo $G$ y todo mapa teórico de conjuntos $f\colon X\to G$ existe un único homomorfismo de grupo $\mathcal{F}\colon F(X)\to G$ tal que $\mathcal{F}(x) = f(x)$ para todos $x\in X$ .

Si $G$ es un grupo, sea $X$ sea el conjunto subyacente de $G$ (el conjunto de todos los elementos de $G$ considerado simplemente como un conjunto), y que $F(X)$ sea el grupo libre en $X$ . El mapa teórico de conjuntos $i\colon X\to G$ que mapea cada elemento de $G$ a sí mismo induce un homomorfismo $\mathcal{F}\colon F(X)\to G$ tal que $\mathcal{F}(x)=i(x)$ para todos $x\in X$ . Dado que la imagen de $\mathcal{F}$ incluye al menos la imagen de $i$ el mapa $\mathcal{F}$ es en. Por el Primer Teorema Fundamental de los Homomorfismos, la imagen de $\mathcal{F}$ (que es $G$ ) es isomorfo a $F(X)/\mathrm{ker}(\mathcal{F})$ . Así que $G$ es isomorfo al cociente de un grupo libre por un subgrupo normal.

Puede sustituir el conjunto subyacente de $G$ con cualquier conjunto generador de $G$ y la prueba pasa.

Añadido: Por supuesto, esta respuesta requiere que se sepa que existe un grupo libre sobre cualquier conjunto, y que tiene la propiedad universal apropiada. Una buena exposición, con motivación y tres construcciones diferentes del grupo libre, está en Capítulo 2 del libro de George Bergman , Una invitación al álgebra general y a las construcciones universales . Aquí hay un enlace a un Versión posdata .

Answer 3

Dado cualquier grupo G, sea F(G) el grupo libre cuyos generadores son los elementos de G. Defina un homomorfismo de grupo f de F(G) a G de la forma obvia: enviando el generador g de F(G) al elemento g de G. Se trata de un homomorfismo sobreyectivo, por lo que G es isomorfo a F(G) / ker f.

En efecto, sea M el conjunto de palabras de la forma $g_1 g_2 h^{-1}$ donde $g_1 g_2 = h$ en G -- en otras palabras, M codifica la tabla de multiplicación para G. Sea N el cierre normal de M. Entonces G es isomorfo a F(G) / N.