Para cada poset $(X,\le)$ hay un orden lineal $\preceq$ en $X$ que amplía $\le$

Question

Utilice el teorema de la compacidad para demostrar que para todo conjunto parcialmente ordenado $(X,\le)$ hay un orden lineal $\preceq$ en $X$ que amplía $\le$ es decir: para todos $x,y\in X$ tenemos $x\le y \to x\preceq y$ .

Mi intento:

Dato útil. Cada juego $X$ admite un orden lineal.

Considere el lenguaje $L = (\le, \preceq, \{c_x\mid x\in X\})$ , donde $\le$ se da, $\preceq$ es el orden lineal que se puede encontrar para $X$ y $c_x$ constantes. Definir el $L$ -teoría $$T = \{ \text{axioms of linear order for} \preceq\}\cup \{\forall x,y\in X: x\le y\to x\preceq y\}\cup \{\neg(c_x=c_y)\mid x,y\in X, x\ne y\}.$$ Nuestro objetivo es demostrar que $T$ es consistente. Sea $T'\subseteq T$ sea un subconjunto finito de $T$ . Objetivo: $T'$ es consistente.

Tenemos $T'\subseteq \{\text{axioms}\}\cup \{\forall x,y\in X': x\le y\to x\preceq y\}\cup \{\neg(c_x=c_y)\mid x,y\in X', x\ne y\}$ para un número finito de $X'\subseteq X$ . Entonces, $X'$ admite un orden lineal $<_{X'}$ (por el hecho), y en particular $X'$ está parcialmente ordenado por $\le$ . ¿Puedo elegir/definir $\preceq := <_{X'}$ . En ese caso, $M=X'$ con $<^M = <_{X'}$ y $c_x^M=x$ si $x\in X'$ , $c_x^M=x_0\in X'$ arbitrario si $x\in X-X'$ es un modelo para $T'$ . Concluimos que $T$ tiene un modelo $N$ también. El mapa $X\to N: x\mapsto c_x^N$ es inyectiva. Sabemos que $\forall n,n'\in N: n\le n'\to n\preceq n'$ . Creo que el mapa inyectivo transfiere esta propiedad a $X$ también.

¿Esto está bien?

Gracias.

Answer 1

Al construir el modelo de la teoría finita $T'$ no demuestran que $x\leq y \rightarrow x\preceq y$ por cada $x,y\in X'$ . Para ello, necesita $\preceq$ a ampliar $\leq$ en $X'$ en lugar de ser arbitrario.

Se necesita el siguiente lema :

Todo orden parcial finito puede extenderse a un orden lineal.

El resto de la prueba está bien.