Encuentra el número de tripletas ordenadas que satisfacen $5\left(x+\frac{1}{x}\right)=12\left(y+\frac{1}{y}\right)=13\left(z+\frac{1}{z}\right)$

Question

Encuentra el número de tripletes ordenados $(x,y,z)$ de números reales que satisfacen $$5\left(x+\frac{1}{x}\right)=12\left(y+\frac{1}{y}\right)=13\left(z+\frac{1}{z}\right)$$

et $$xy+yz+zx=1$$

Mi intento:

Dejando:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{k}{5}\tag{1}$$ $$\left(y+\frac{1}{y}\right)=\frac{k}{12}\tag{2}$$ $$\left(z+\frac{1}{z}\right)=\frac{k}{13}\tag{3}$$

Por $AM-GM$

$$\left(z+\frac{1}{z}\right)^2 \ge 4$$

Así que $$k^2 \ge 676$$

Añadiendo $(1),(2),(3)$ nos encontramos con que:

$$x+y+z+\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{281k}{780}$$

$$x+y+z+\frac{1}{xyz}=\frac{281k}{780}$$

¿Alguna pista desde aquí?

Answer 1

Dejemos que $\left(x;y;z\right)\rightarrow \left(\tan \alpha ;\tan \beta ;\tan \gamma \right)\left(0<\alpha ,\beta ,\gamma <90^o\right)$ Entonces tenemos

\begin{align} \begin{cases} 5\left(\tan \alpha +\frac{1}{\tan \alpha }\right)=12\left(\tan \beta +\frac{1}{\tan \beta }\right)=13\left(\tan \gamma +\frac{1}{\tan \gamma }\right) (1) \\ \tan \alpha \tan \beta +\tan \gamma \tan \beta +\tan \alpha \tan \gamma =1 (2) \end{cases} \end{align}

Tenga en cuenta que: $$\left(1\right)\Leftrightarrow 5\left(\frac{\tan ^2\alpha +1}{\tan \alpha }\right)=12\left(\frac{\tan ^2\beta +1}{\tan \beta }\right)=13\left(\frac{\tan ^2\gamma +1}{\tan \gamma }\right)$$

$$\Leftrightarrow \frac{5}{\sin 2\alpha }=\frac{12}{\sin 2\beta }=\frac{13}{\sin 2\gamma }$$

Y $\left(2\right)\Rightarrow \cot \gamma =\tan \left(\alpha +\beta \right)$

$$\Rightarrow \tan \left(\frac{\pi }{2}-\gamma \right)=\tan \left(\alpha +\beta \right)\Leftrightarrow \alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}$$

¿Puedes resolverlo ahora? :)

Answer 2

Desde el $xy+yz+zx=1$ obtenemos $x = \frac{1-yz}{y+z}$ . Sustitúyalo en $5 (x+1/x)-12 (y+1/y)$ . Tomando el numerador de este y el numerador de $12 (y + 1/y) - 13 (z + 1/z)$ puede eliminar $y$ y obtener $z (z^4-1) = 0$ . Desde $z=0$ no está permitido, $z = \pm 1$ . A partir de ahí se puede encontrar el $y$ y $x$ valores.

Answer 3

Para cada triplete de números reales $(x,y,z)$ que satisface $$xy+yz+zx=1,$$ entonces existe un triplete único de ángulos $(\alpha, \beta, \gamma)$ , de tal manera que $0 \le \alpha, \beta, \gamma < \pi $ y $\alpha + \beta + \gamma= \pi $ es decir, son ángulos de un triángulo, y $$tg(\frac{\alpha}{2}) = x, \text{ } tg(\frac{\beta}{2}) = y, \text{ }tg(\frac{\gamma}{2}) = z$$ Efectivamente, se puede comprobar que en todo triángulo con ángulos $\alpha, \beta, \gamma$ tienes $tg(\frac{\alpha}{2})tg(\frac{\beta}{2}) + tg(\frac{\beta}{2})tg(\frac{\gamma}{2}) + tg(\frac{\alpha}{2})tg(\frac{\gamma}{2}) =1 $

También sabemos que $$sin(\alpha)=\frac{2*tg(\frac{\alpha}{2})}{tg(\frac{\alpha}{2})^2+1}= \frac{2x}{x^2+1}$$

La otra condición, escrita como ayuda a nuestra intuición, se convierte ahora en: $$5\left(\frac{x^2+1}{2x}\right)=12\left(\frac{y^2+1}{2y}\right)=13\left(\frac{z^2+1}{2z}\right)$$ que es sólo $$ \frac{sin (\alpha)}{5}= \frac{sin(\beta)}{12} = \frac{sin(\gamma)}{13} =k_0 $$

Por la ley del seno, sabemos que las longitudes de los lados de un triángulo son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, por lo tanto si denotamos $a,b,c$ los lados, tenemos

$$ \frac{a}{5}= \frac{b}{12} = \frac{c}{13} =k $$ por lo que obtenemos $$ a=5k, b=12k, c= 13k $$

Utilizando la ley de los cosenos, obtenemos $$ cos(\alpha)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$ y las fórmulas análogas para $\beta $ y $\gamma$ danos $$ cos(\alpha) = \frac{12}{13}, cos(\beta) = \frac{5}{13}, cos(\gamma)= 0 $$ lo que significa que $$x= tg(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}} = \frac{1}{5}$$ $$y= tg(\frac{\beta}{2}) = \sqrt{\frac{1-cos(\beta)}{1+cos(\beta)}} = \frac{2}{3}$$ $$z= tg(\frac{\gamma}{2}) = \sqrt{\frac{1-cos(\gamma)}{1+cos(\gamma)}} = 1$$

Hemos elegido la raíz positiva de $tg^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}$ y el análogo, porque $0 \le \alpha, \beta, \gamma < \pi $ Por lo tanto $0 <\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2} < \frac{\pi}{2} $ lo que significa que $tg(\frac{\alpha}{2}), tg(\frac{\beta}{2}), tg( \frac{\gamma}{2}) $ son positivos .