Encontrar un subcampo único de $\mathbb{Q}(\zeta)$ de grado $2$ ?

Question

Estoy intentando coger un poco de teoría de Galois para ver sus aplicaciones a la geometría clásica y a las construcciones de regulares $n$ -gones, los regulares $17$ -gon para ser exactos. Este problema viene de la Geometría Clásica de Hartshorne y aparece en la sección 29 sobre la construcción de Gauss de un regular $17$ -gon.

Dejemos que $\zeta=\cos(2\pi/7)+i\sin(2\pi/7)$ y que $\alpha=\zeta+\zeta^{-1}$ .

(a) Encuentre el polinomio mínimo para $\alpha$ en $\mathbb{Q}$ .

(b) Demuestre que $\mathbb{Q}(\zeta)$ contiene un único subcampo de $E$ de grado $2$ en $\mathbb{Q}$ . Encuentre un número entero $d$ para lo cual $E=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ .

Para $(a)$ Me he dado cuenta de que $\alpha=\zeta+\zeta^{-1}=\zeta+\zeta^6=2\cos(2\pi/7)$ . También, $$ \alpha^2=\zeta^2+2+\zeta^5 $$ $$ \alpha^3=\zeta^3+\zeta^4+3\alpha $$ y así $$ \alpha^3+\alpha^2+\alpha=\zeta^6+\zeta^5+\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+2+3\alpha $$ y luego $\alpha^3+\alpha^2-2\alpha=1$ desde $\zeta$ es una raíz de $\Phi_7$ el séptimo polinomio ciclotómico. Así que creo que el polinomio mínimo de $\alpha$ es $x^3+x^2-2x-1$ que es irreducible por la prueba de las raíces racionales.

Sin embargo, para la parte (b), me quedo en blanco. No he podido encontrar una expresión para $\zeta$ en términos de raíces cuadradas, así que no estoy muy seguro de lo que $\mathbb{Q}(\zeta)$ parece, ni puedo aventurar una conjetura en cuanto a lo que $d$ puede ser. Me imaginé que si $\zeta=\sqrt{10+2\sqrt{5}}$ o algo así, podría adivinar $d=5$ e intentar trabajar con eso. Desgraciadamente, no soy muy aficionado al álgebra, así que mi pregunta es, ¿cómo se haría la parte (b)? Gracias.

Answer 1

Desde $\zeta$ satisface $x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ que es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ (por ejemplo, hacer Eisenstein a $p(x+1)$ ), entonces $\mathbb{Q}(\zeta)$ es de grado $6$ en $\mathbb{Q}$ . Además, como las "otras" raíces de este polinomio son $\zeta^i$ , $i=2,\ldots,6$ entonces $\mathbb{Q}(\zeta)$ es el campo de división de este polinomio, y el grupo de Galois está completamente determinado por lo que hace a $\zeta$ . Desde $[\mathbb{Q}(\zeta)\colon\mathbb{Q}]=6$ el grupo de Galois es isomorfo a $S_3$ o a $\mathbb{Z}_6$ (cíclico de orden $6$ ). En cualquier caso, existe un único subgrupo de orden $3$ cuyo campo fijo es una subextensión de grado $2$ en $\mathbb{Q}$ . Esto es lo que está buscando.

Algunas correcciones a continuación para utilizar una base para la ampliación .

Ahora, los elementos de $\mathbb{Q}(\zeta)$ son de la forma $$a + b\zeta + c\zeta^2 + d\zeta^3 + e\zeta^4 + f\zeta^5 +g\zeta^6,\qquad a,b,c,d,e,f,g\in\mathbb{Q},$$ que se puede reescribir para que sea de la forma $$a + b\zeta + c\zeta^2 + d\zeta^3 + e\zeta^4 + f\zeta^5$$ (para otros racionales) utilizando la relación $\zeta^6 = -1-\zeta-\zeta^2-\zeta^3-\zeta^4-\zeta^5$ la expresión es entonces única.

De hecho, el grupo de Galois es isomorfo a $\mathbb{Z}_6$ El mapa que envía $\zeta$ a $\zeta^3$ tiene orden $6$ y determina un automorfismo. El subgrupo de orden $3$ es generado por el cuadrado de este elemento, que envía $\zeta$ a $\zeta^2$ . La subextensión de grado $2$ es el campo fijo de este automorfismo. Este automorfismo mapea $$\begin{align*} a+b\zeta+c\zeta^2 + d\zeta^3 + e\zeta^4 + f\zeta^5 &\longmapsto a + b\zeta^2 + c\zeta^4 + d\zeta^6+ e\zeta + f\zeta^3\\ &= a + b\zeta^2 + c\zeta^4 + d(-1-\zeta-\zeta^2-\zeta^3-\zeta^4-\zeta^5) + e\zeta + f\zeta^3\\ &= (a-d)+ (e-d)\zeta + (b-d)\zeta^2 + (f-d)\zeta^3 + (c-d)\zeta^4 -d\zeta^5. \end{align*}$$

Si el elemento está fijado por este mapa, debemos tener $d=0$ (así $a=a-d$ ), por lo que $f=0$ y $b=c=e$ .

Por tanto, un elemento está fijado por este mapa si y sólo si es de la forma $$a + b(\zeta + \zeta^2 + \zeta^4),\qquad a,b\in\mathbb{Q}.$$

Cualquier elemento de este tipo que sea no en $\mathbb{Q}$ generará la extensión. Así que tomando $$\zeta+\zeta^2+\zeta^4$$ lo hará. Ahora puedes hacer lo mismo que hiciste en la parte (a). Si elevas al cuadrado $\zeta+\zeta^2+\zeta^4$ , se obtiene $$\begin{align*} (\zeta+\zeta^2+\zeta^4)^2 &= \zeta^2 + \zeta^4 + \zeta + 2\zeta^3 + 2\zeta^5 + 2\zeta^6\\ &= -1 + \zeta^3+\zeta^5+\zeta^6\\ &= -2-(\zeta+\zeta^2+\zeta^4); \end{align*}$$ por lo que tiene que $\beta=\zeta+\zeta^2+\zeta^4$ satisface el polinomio $$x^2 + x + 2.$$ Este polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y su discriminante es $-7$ . Por tanto, el campo de división viene dado por $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ . Este es el campo que desea.

Answer 2

Esto es sólo un comentario en el sentido de que la respuesta de Arturo, aunque en su mayor parte es correcta, contiene algunas inexactitudes. En concreto, el campo $\mathbf{Q}(\zeta)$ es de grado $6$ por lo que hay que tener cuidado al escribir los elementos en términos de los (siete) elementos $\zeta^i$ para $i = 0$ a $6$ . Probablemente sería mejor escribir elementos de $\mathbf{Q}(\zeta)$ como $a + b \zeta + c \zeta^2 + d \zeta^3 + e \zeta^4 + f \zeta^5$ y reemplazar todas las ocurrencias de $\zeta^6$ por $$\zeta^6 = -1 - \zeta - \zeta^2 -\zeta^3 - \zeta^4 - \zeta^5.$$

Answer 3

En este caso $d = -7$ . En general, si $p \equiv 1 \mod{4}$ entonces $\mathbb{Q}(\sqrt{p}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_p)$ y si $p \equiv 3 \mod{4}$ entonces $\mathbb{Q}(\sqrt{-p}) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_p)$ . Hay varias pruebas de este hecho, pero la única elemental que se me ocurre es la de las sumas de Gauss: Sea $g = \sum_{a=1}^6 \chi(a) \zeta_7^a$ donde $\chi(a) = \pm 1$ dependiendo de si $a$ es un residuo cuadrático mod $7$ . Puede demostrar que $g\bar{g} = 7$ pero que $\bar{g} = -g$ . Así que $g^2 = -7$ . Así que $g = \pm \sqrt{-7}$ . Así que $\mathbb{Q}(\zeta_7)$ contiene $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ .