Motivación de los caracteres de Hecke

Question

El contexto es la definición de Hecke Größencharakter:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hecke_character

Se supone que esto generaliza el Dirichlet $L$ -series para campos numéricos. Los caracteres de Dirichlet son caracteres de los grupos multiplicativos de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ . Una generalización adecuada sería, en cambio, considerar los caracteres del grupo multiplicativo de $\mathcal O_K/\cal P$ donde $\mathcal P$ es un ideal primo en el anillo de enteros de un campo numérico $K$ .

Pero Hecke Größencharakter se toma más molestias que esto. Introduce ídolos y demás para una generalización más complicada. ¿Por qué es necesario?

Answer 1

Es natural pensar que el análogo correcto de los grupos $({\mathbf Z}/m{\mathbf Z})^\times$ en un campo numérico $K$ deben ser los grupos $({\mathcal O}_K/{\mathfrak a})^\times$ donde $\mathfrak a$ es un ideal no nulo en $\mathcal O_K$ y para algunos propósitos es cierto. Pero para otros fines no lo es, y un caso en el que no lo es es tu pregunta.

La motivación de Hecke para crear "sus" personajes era producir $L$ -como productos de Euler sobre ideales primos (no nulos) en $\mathcal O_K$ que generalizan a Dirichlet $L$ -funciones. Si empiezas con un personaje $\chi$ en un grupo de unidades $({\mathcal O}_K/{\mathfrak a})^\times$ ¿Cómo se convierte en una función de ideales ? ¿Quieres algún tipo de serie como $$ \sum_{\mathfrak a} \frac{\chi({\mathfrak a})}{{\rm N}(\mathfrak a)^s} $$ que recorre los ideales integrales (no nulos) ${\mathfrak a}$ de ${\mathcal O}_K$ y si $K$ tiene un número de clase mayor que 1, es difícil imaginar cómo obtener una función de ideales a partir de una función sobre $({\mathcal O}_K/{\mathfrak a})^\times$ . Incluso si $K$ tiene el número de clase 1 tendrías problemas bastante serios para hacer esa transición si hay unidades de orden infinito en $\mathcal O_K$ que hay, excepto cuando $K$ es ${\mathbf Q}$ o un campo cuadrático imaginario.

La clave para entender cómo Hecke generalizó los caracteres de Dirichlet es reinterpretar el grupo $({\mathbf Z}/m{\mathbf Z})^\times$ como grupo cociente multiplicativo de ideales fraccionarios $I_{(m)\infty}/P_{(m)\infty}$ , pas como un grupo de unidades en un anillo cociente. Eso lleva a los grupos de clases ideales generalizados $I_{\mathfrak m}/P_{\mathfrak m}$ para un módulo generalizado $\mathfrak m$ en un campo numérico, y son caracteres de grupos de clases ideales generalizados $I_{\mathfrak m}/P_{\mathfrak m}$ , pas caracteres de los grupos $(\mathcal O_K/\mathfrak a)^\times$ que son ejemplos de la definición de Hecke de sus personajes. Los caracteres de los grupos de clases ideales generalizados tienen todos orden finito, pero la definición de Hecke es mucho más amplia: permite caracteres de orden infinito que no están estrechamente relacionados con ningún carácter de orden finito. Los grupos de clases ideales generalizados son la forma original en que se desarrolló la teoría de campos de clases, y no va a encontrar a nadie que le diga que el formalismo de la teoría de campos de clases es fácil de entender la primera vez que lo hace.

La definición original de Hecke de sus caracteres no hacía uso de los ídolos, que de hecho no fueron creados hasta más tarde (por Chevalley). Su artículo de presentación de sus caracteres se publicó en dos partes en Mathematische Zeitschrift ( vol. 1 en 1918 y vol. 6 en 1920 ) y da ejemplos explícitos de sus caracteres para campos cuadráticos reales e imaginarios. La definición clásica se discute en la página de Wikipedia a la que enlazas en tu pregunta, aunque la definición allí es (por el momento) en gran parte de palabras y es un poco opaca. Creo que encontrarás las fórmulas clásicas que definen los caracteres de Hecke en general bastante aterrador. Se pueden encontrar, por ejemplo, en el libro de Narkiewicz sobre teoría algebraica de números. Los documentos originales de Hecke no ofrecen mucha motivación suave para su definición. Estos desarrollos, en su momento, no eran en absoluto obvios. En la década de 1940, Matchett mostró en su tesis cómo interpretar los caracteres de Hecke más conceptualmente como los caracteres del grupo de clases de ídem, y así es a menudo como se ven hoy en día porque es una definición más limpia y conceptual.

Answer 2

Una de las razones de la mayor generalidad es que Hecke hacen algo más que describir extensiones abelianas de campos numéricos (esencialmente los caracteres de Dirichlet describen extensiones abelianas de $\mathbb Q$ ). Por ejemplo, la función L de una curva elíptica con multiplicación compleja es la función L de un carácter de Hecke de orden infinito.

Answer 3

Aparte de las aplicaciones específicas, para todos los campos numéricos mayores que $Q$ las funciones L de Hecke están simplemente "ahí", como resultado de la completo análisis armónico en el grupo de la clase idele. La mayoría de ellos asumen valores no algebraicos, por lo que no son "motivacionales" (no de "tipo $A_0$ "en el sentido de Weil). Pero para el análisis armónico de caracteres, y luego para el análisis armónico de formas automórficas en general, los caracteres de Hecke son ineludibles. Si se omiten, fallan los teoremas de Plancherel, los teoremas de representación puntual, etc.

Una aplicación aún más sencilla que a las curvas elípticas con CM es a la distribución de primos gaussianos en sectores angulares. Todas las funciones L de Hecke $\sum (\frac{\alpha}{|\alpha|})^k \frac{1}{|\alpha|}^{2s}$ son necesarios/naturales para tratar esta cuestión. En efecto, el índice $k$ es un índice de la serie de Fourier en la coordenada del círculo, haciendo una separación de variables escribiendo $C^\times$ como círculo $\times(0,+\infty)$ .