Sobre una cierta representación integral para las funciones L de Dirichlet

Question

Es un resultado antiguo de Jensen que

$$(s-1)\zeta(s)=\frac{\pi}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(1/2+it)^{1-s}}{\cosh^{2}\pi t} \mathrm{d}t$$

donde $\zeta$ denota la función zeta de Riemann.

¿Existe una generalización de esta fórmula válida para todas las funciones L de Dirichlet?

Answer 1

Como sospechaba en mi comentario anterior, existe un análogo del "antiguo" resultado de Jensen para la función zeta de Hurwitz: Para $a>1/2$ , $$ \zeta(s,a)=\frac{\pi}{2(s-1)}\int_{-\infty}^\infty\frac{(a-1/2+it)^{1-s}}{\cosh^2(\pi t)}\, dt. $$ Se trata de (23) en la p. 92 de Series asociadas a las funciones Zeta y afines de Srivastava y Choi, Kluwer, 2001. (Por desgracia, sin pruebas, pero eso es para otra pregunta de MO .) Para $a=1$ esto se reduce a Jensen.

Ahora dejemos que $d$ impar, y $\chi$ un carácter no trivial módulo $d$ y $\epsilon=\pm1=\chi(-1)$ .

Así que, $$ L(s,\chi)=d^{-s}\sum_{d/2<j<d}\chi(j)(\zeta(s,j/d)+\epsilon\zeta(s,1-j/d)). $$ Utilizando la identidad $$ \zeta(s,a)=\zeta(s,a+1)+a^{-s} $$ obtenemos $$ L(s,\chi)=d^{-s}\sum_{d/2<j<d}\chi(j)(\zeta(s,j/d)+\epsilon\zeta(s,2-j/d))+\epsilon\sum_{d/2<j<d}\chi(j)(d-j)^{-s}. $$ Ahora el parámetro zeta de Hurwitz relevante es $>1/2$ Así que $$ L(s,\chi)=\frac{\pi\cdot d^{-s}}{2(s-1)}\int_{-\infty}^\infty\sum_{d/2<j<d}\chi(j)((j/d-1/2+it)^{1-s}+\epsilon (3/2-j/d+it))^{1-s})\cosh^{-2}(\pi t)\, dt $$ $$ +\epsilon\sum_{d/2<j<d}\chi(j)(d-j)^{-s} $$ La singualridad en $s=1$ es extraíble: por la ortogonalidad de los caracteres la suma sobre $j$ tendrá un cero en $s=1$ .