Lemma de Schwartz y función analítica no inyectiva

Question

Estoy leyendo una demostración sobre el teorema del mapa de Riemann y hay una parte que no entiendo bien. El libro utiliza un lema que dice que si $f:D(0,1) \to D(0,1)$ es analítica y no inyectiva entonces $|f'(0)| \lt 1$

Para demostrarlo, establecemos $a=f(0)$ y utilizamos el lema de Schwartz sobre $_a(f(z))$ , donde $_a(z) ={ {z-a} \over 1- \overline az}$ y demostrar que $|(_a(f(0))'| \lt1$ porque $_a(f(z))$ es no inyectiva.

No entiendo la última parte. ¿Por qué nos $\lt$ en lugar de $\le$ ?

¿Alguna pista?

Answer 1

El lema de Schwarz dice que si $g:D(0,1)\to D(0,1)$ es analítico y $g(0)=0$ entonces $|g(z)|\leq |z|$ para todos $z$ y $|g'(0)|\leq 1$ y además que si $|g(z)|=|z|$ para algunos $z\neq 0$ o $|g'(0)|=1$ entonces existe una constante $c$ de la norma $1$ tal que $g(z)=cz$ para todos $z$ . En particular, si $|g'(0)|=1$ entonces $g$ sería inyectiva.