¿Cómo demostrar que la siguiente función es continua?

Question

Sea m la medida de Lebesgue, $[a,b] $ un intervalo cerrado y E un conjunto mesurable tal que m (E)=p. ¿Cómo puedo demostrar que $f (x)=m ([a,x]E)$ es continua en $[a,b] $

Answer 1

Dada una secuencia $x_n$ tal que $\lim_{n \to \infty} = x$ Su tarea es demostrar que $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$ . Esto demostraría que $f$ es continua en $x$ .

Ahora, observe que cada $f(x_n)$ puede escribirse como una integral de una función indicadora: $$ f(x_n) = \int \chi_{[a,x_n] \cap E}.$$

La familia de funciones indicadoras $\chi_{[a,x_n] \cap E}$ converge puntualmente a.e. a la función indicadora $\chi_{[a,x] \cap E}$ y está dominada por la función indicadora $\chi_E$ que es integrable ya que $m(E) < \infty$ .

Por lo tanto, por el Teorema de Convergencia Dominada, $$ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \int \chi_{[a,x] \cap E} = f(x),$$ según sea necesario.