Utilizando detA y detB para calcular el determinante de la matriz C

Question

Si tenemos C=( $A^t$ ) $^2$ BA $^3$ B $^-$$ ^1 $A$ ^- $$^3$ y detA=-2 y detB no es igual a 0, ¿cómo calculamos det C?

Sé que la transposición de una matriz no afecta al determinante. ¿Significa esto que ( $A^t$ ) $^2$ =(-2) $^2$ =4?

Y entonces cómo es A $^-$$ ^3$ afectado? ¿Se trata de la inversa de A al cubo? ¿Y cómo afecta la inversa al determinante? Gracias

Answer 1

Se puede recordar que, si $\det A \neq 0$ entonces $$ \det A{}^t=\det A, \qquad \det (A{}^{p})=(\det A)^p,\quad p=0,\pm 1,\pm2, \ldots. $$ y $$ \det (AB)=(\det A)(\det B)=(\det B)(\det A)=\det (BA) $$ Así, aquí: $$ \det C=\det ( (A^t)^2BA^3B^{-1}A^{-3})=(\det A)^{2+3-3}(\det B)^{1-1}=(\det A)^{2}=4. $$

Answer 2

\begin{equation*} \det(A^k) = \det(A)^k~\text{and}~\det(A^t) = \det(A) \end{equation*}

Answer 3

Recuerde lo siguiente

$$\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}{A}\operatorname{det}{B}$$ $$\operatorname{det}{A^n}=(\operatorname{det}{A})^n$$ $$\operatorname{det}{A^T}=\operatorname{det}{A}$$

Así que en nuestro caso tenemos $B$ y $B^{-1}$ cuyos determinantes se anulan porque no son $0$ (por lo demás $B^{-1}$ no existiría) $A^3$ y $A^{-3}$ cuyo determinante se cancela y nos quedamos con $(\operatorname{det}{A^T})^2=4$