Se alcanza la distancia entre un punto y un conjunto cerrado

Question

Sé que si $X\subset\mathbb{R}$ y $a\in\mathbb{R}$ entonces $$d(a,X)=\{\inf|x-a|,x\in X\}$$ Acabo de demostrar que si $a\in\bar{X}$ entonces $d(a,X)=0$ .

Ahora, necesito demostrar que si $X$ está cerrado, entonces $\exists x_{0}\in X$ tal que $$d(a,X)=|a-x_{0}|$$

Bueno, ya que $X$ está cerrado, entonces $X=\bar{X}$ . Por lo tanto, si $x_{0}\in X\Rightarrow x_{0}\in\bar{X}$ . Así que $$d(x_{0},X)=\inf_{x\in X}|x-x_{0}|=0$$

Tengo $$d(a,X)=\inf_{x\in X}|x-a|$$ por lo que, utilizando la desigualdad triangular, puedo demostrar que $$d(a,X)\leq\inf_{x\in X}|x-x_{0}|+\inf_{x\in X}|x_{0}-a|$$ Y como $\inf_{x\in X}|x-x_{0}|=0$ entonces $$d(a,X)\leq\inf_{x\in X}|x_{0}-a|$$ Pero, según la definición de $\inf$ concluimos que $$d(a,X)=\inf_{x\in X}|x_{0}-a|$$

Quiero saber si mi prueba es correcta.

Answer 1

En mi otra respuesta he dado pistas. Aquí daré una prueba completa que puede ser revisada si uno necesita más explicaciones.

Si $a \in X$ entonces

$\quad d(a,X)=\{\inf|x-a|,x\in X\} \le d(a,a) = 0$

Así que $d(a,X)= 0$ y el ajuste $x_0 = a$ funciona.

Si $a \notin X$ Entonces, como $X$ es cerrado existe un intervalo abierto $(b,c)$ tal que

$\tag 1 a \in (b,c) \land (b,c) \cap X = \emptyset$

La unión de intervalos abiertos con una intersección no vacía es siempre un intervalo abierto (posiblemente ampliado). Por tanto, existe un intervalo abierto mayor $U$ que contiene $a$ que no se cruza con $X$ . Desde $X$ se supone que no es vacía, sólo hay tres posibilidades:

$\tag 2 U = (s_0,t_0) \text{ with } s_0, t_0 \in \Bbb R$ $\tag 3 U = (u_0,+\infty) \text{ with } u_0 \in \Bbb R$ $\tag 4 U = (-\infty,v_0) \text{ with } v_0 \in \Bbb R$

Caso 1: Si $a - s_0 \le t_0 - a$ la toma $x_0 = s_0$ ; si no, toma $x_0 = t_0$ .

Caso 2: Toma $x_0 = u_0$ .

Caso 3: Toma $x_0 = v_0$ .

Answer 2

Para demostrar que $x_0$ existe tienes que definirlo/construirlo. Tu argumento es defectuoso ya que nunca defines/construyes este número $x_0$ .

Ahora, como "calentamiento" para abordar el problema, el PO debería pensar en lo que ocurre cuando

$\tag 1 X = \{-1, +1\} \text{ and } a = 0$

Otro ejercicio:

$\tag 2 X = \{-1, +1\} \text{ and } a = \frac{1}{2}$

Obsérvese que la resolución de este problema para $\Bbb R$ es mucho más fácil que el resultado correspondiente para espacios métricos completos. El OP podría querer usar la etiqueta de análisis real aquí.

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Pista: Para el problema del OP, hay un intervalo abierto más grande $I$ que contiene $a$ que es disjunta de $X$ . El intervalo abierto tiene la forma

$\quad (x_1,x_2) \quad \text{ where NOT} \, \bigr[ x_1 = -\infty \land x_2 = +\infty \bigr ] \; \text{ since } X \ne \emptyset$