Teorema de la probabilidad total - un ejemplo aplicativo.

Question

Un niño que tiene ambos padres alérgicos tiene un riesgo del 60% de padecerlo a su vez, pero esta probabilidad se reduce al 40% si un solo progenitor es alérgico. Las encuestas realizadas a nivel nacional han demostrado que el 25% de los niños en edad escolar padecen una o más enfermedades alérgicas y que estas enfermedades tienen una incidencia del 12,9% en las mujeres adultas y del 9,6% en los hombres adultos.

a) Determina la probabilidad de que un niño tenga un solo padre alérgico;

b) Determina la probabilidad de que un niño tenga ambos padres alérgicos;

c) Determine la probabilidad de que un niño elegido al azar no sea alérgico y tenga una madre alérgica y un padre no alérgico (solución de referencia: ~2%)

d) Determinar la probabilidad de elegir un niño al azar, y que sea alérgico, de que ambos padres sean alérgicos (solución de referencia: ~2,9%)

e) Determine la probabilidad de que un niño elegido al azar, y que resulte ser alérgico, tenga sólo un progenitor alérgico (solución de referencia: ~32%)

He resuelto con éxito las preguntas A y B, de la siguiente manera:

Pregunta A: Notación: AN = Padre alérgico / Madre no alérgica; NA = Padre no alérgico / Madre alérgica; AA = Padre alérgico / Madre alérgica; NN = Padre no alérgico / Madre no alérgica

p(AN) + p(NA ) = 0,083616 + 0,116616 = 0,200232 = 20%.

Pregunta B: (mismas anotaciones que en la pregunta A)

p(AA) = 9,6 / 100 * 12,9/ 100 = 0,012384 = 1,2384 p(AN) = 9,6 / 100 * 87,1 / 100 = 0,083616 p(NA) = 90,4 / 100 * 12,9 / 100 = 0,116616 p(NN) = 90,4 / 100 * 87,1 / 100 = 0,787384

¿Cómo podría resolver los puntos C, D y E, utilizando el teorema de la probabilidad total?

Muchas gracias por considerar mi petición.

Answer 1

Aquí está la solución para d) y e) con A="el niño es alérgico":

d) B="ambos padres son alérgicos".

$$ P(B \mid A ) =\frac{ P(B \cap A) }{ P(A)} = P(A\mid B ) \frac{P(B)}{P(A)} = 0.6 \cdot \frac{p(AA)}{0.25} $$

e) B="sólo uno de los padres es alérgico"

$$ P(B \mid A ) =\frac{ P(B \cap A) }{ P(A)} = P(A\mid B ) \frac{P(B)}{P(A)} = 0.4 \cdot \frac{(p(AN)+p(NA))}{0.25} $$

Este es mi enfoque para c)

c)

$$ P(A^C \cap NA) = P(A^C \mid NA) P(NA) = (1 - P(A \mid NA)) P(NA)$$

pero desgraciadamente sólo es $$ P(A \mid NA \cup AN) $$ dado. Creo que falta alguna información para resolver c).