Si la energía sólo se define hasta una constante, ¿podemos afirmar realmente que la energía del estado básico tiene un valor absoluto?

Question

Perdona si esto es muy ingenuo, pero en la física newtoniana aprendimos que la energía total de un sistema sólo está definida hasta una constante aditiva, ya que siempre puedes añadir una constante a la función de energía potencial sin cambiar la ecuación del movimiento (ya que la fuerza es negativa el gradiente de la energía potencial).

Luego, en la Mecánica Cuántica, mostramos cómo el estado básico de un sistema con energía potencial $V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}$ tiene una energía $E_{0}=\frac{1}{2} \hbar \omega $ .

Pero si añadimos una constante a $V(x)$ ¿no se desplazará la energía del estado base por la misma constante? Entonces, ¿en qué sentido podemos decir realmente que la energía del estado básico tiene un valor absoluto (y no sólo un valor relativo)? ¿Hay alguna forma de medirla?

Lo pregunto, en parte, porque he oído que la energía oscura podría ser la energía del estado básico de los campos cuánticos, pero si esta energía sólo se define hasta una constante, ¿cómo podemos decir cuál es su valor?

Answer 1

En la física no relativista y no gravitacional (ambas condiciones deben cumplirse simultáneamente para que se cumpla la siguiente proposición), la energía sólo se define hasta un desplazamiento aditivo arbitrario. En este contexto restringido, la elección del desplazamiento aditivo es una convención no física e inobservable.

La relatividad especial

Sin embargo, en la relatividad especial, la energía es la componente temporal de un vector 4 y es muy importante que sea nula o no nula. En particular, la energía del espacio vacío de Minkowski tiene que ser exactamente cero porque si fuera distinta de cero, el estado no sería invariante de Lorentz: Las transformaciones de Lorentz transformarían la energía no nula (componente temporal de un vector) en un momento no nulo (componentes espaciales).

La relatividad general

En la relatividad general, los desplazamientos aditivos de la energía también importan porque la energía es una fuente de curvatura del espaciotiempo. Un desplazamiento uniforme de la densidad de energía en el Universo se conoce como la constante cosmológica, y curvará el vacío. Así que es importante saber qué es, y no es sólo una convención. Además, en la relatividad general, el argumento del párrafo anterior puede eludirse: la energía oscura, independientemente de su valor, preserva la simetría de Lorentz (o de Sitter o anti de Sitter, que son igualmente grandes) porque el tensor de energía de tensión es proporcional al tensor métrico (porque $p=-\rho$ ). Sin embargo, mientras haya gravedad, el desplazamiento aditivo importa.

En la práctica, no medimos la energía del punto cero por sus efectos gravitatorios, y el valor de la constante cosmológica sigue siendo un gran misterio. Así que seguramente tengo una respuesta diferente, más relevante desde el punto de vista de la observación.

Energía de Casimir, comparación de situaciones

Los desplazamientos aditivos de la energía también son importantes cuando se puede comparar la energía en dos situaciones diferentes. En particular, se puede medir el efecto Casimir. La fuerza Casimir surge porque entre dos placas metálicas, el campo electromagnético tiene que organizarse en ondas estacionarias, debido a las diferentes condiciones de contorno. Sumando las $\hbar\omega/2$ energías de punto cero de estas ondas estacionarias (cada longitud de onda produce un oscilador armónico), y restando un cálculo "continuo" similar en ausencia de las placas metálicas, se puede descubrir que la energía total de punto cero depende de la distancia de las placas metálicas si están presentes, y los experimentos han verificado que la fuerza correspondiente $dE/dr$ existe y coincide numéricamente con la predicción.

Hay muchos otros contextos en los que la energía del punto cero puede medirse de facto. Por ejemplo, existen estados metaestables que se comportan como el oscilador armónico para varios estados bajos. La energía de estos estados metaestables puede compararse con la energía de la partícula libre en el infinito, y el resultado es $V_{\rm local\,minimum}-V_{\infty}+\hbar\omega/2$ . Esto es algo análogo al cálculo de las energías del estado ligado en un átomo de hidrógeno, que puede medirse (piense en la energía de ionización).

Así que sí, siempre que se añada la relatividad especial o la gravedad o las comparaciones de configuraciones en las que la estructura y las frecuencias de los osciladores armónicos difieren, el desplazamiento aditivo se vuelve físico y medible.

Answer 2

Es bastante correcto que se puede desplazar la energía de forma aditiva, incluso en la mecánica cuántica, y siempre se puede hacer que el estado básico lleve energía cero. Sin embargo, aún se puede medir otra energía incluso en el estado básico: la energía cinética. Porque $T = {p^2 \over 2m}$ la expectativa de energía cinética en un estado energético dado es esencialmente su incertidumbre en el momento (porque el valor medio del momento es cero). Por lo tanto, incluso en el estado básico del oscilador hay algún movimiento intrínseco presente (por supuesto, sólo en este sentido, el estado sigue siendo estacionario con respecto a la evolución), a pesar de que tiene energía cero.

Desde otro punto de vista, considere su potencial $V(x) = {1\over 2} m\omega^2 x^2 - E_0$ : se cruzará con el $x$ -eje. Sin embargo, la energía del estado básico se encuentra en $E=0$ . Así que no se encuentra en la parte inferior de su potencial (como se esperaría para un estado básico en la física clásica). Esta posición relativa de $E_0$ y $V(x)$ es independiente de cualquier cambio de energía.