Función diferenciable tal que $\lim_\limits{x\to \infty}f(x)=\infty$

Question

Sea $f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $$f'(x)=\frac{x^2-(f(x))^2}{x^2(1+(f(x))^2)}$$ para todo $x>1$. Demuestra que $\lim_\limits{x \to \infty}f(x)=\infty$

A partir de la relación dada, se obtiene que $f$ es infinitamente diferenciable. Intenté obtener una desigualdad entre $x$ y $f(x)$, y traté de demostrar que la derivada no cambia de signo, para que $f$ sea monótona, pero no creo que esto funcione. También noté que si $f(x)=x$ para un dado $x$, entonces $f'(x)=0$. Tampoco entiendo por qué se da el dominio como $(1,\infty)$. Quizás esto tenga la intención de sugerir algo.

Answer 1

Reclamación 1: $f$ no está acotado por arriba.

Prueba: Por contradicción. Supongamos que $f(x)\le M$ para todo $x\in(1,\infty)$. Entonces $$ (1+f(x)^2)f'(x)=1-\frac{f(x)^2}{x^2}\ge\frac12,\quad x\ge M\sqrt2. $$ Integrando $$ f(x)+\frac13\,f(x)^3\ge \frac{x}{2}+C,\quad x\ge M\sqrt2. $$ La función $h(u)=u+u^3/3$ es estrictamente creciente y tiene una inversa $h^{-1}$, por lo que $f(x)\ge h^{-1}(x/2+C)$ para $x$ grande. Dado que $\lim_{u\to\infty}h^{-1}(u)=+\infty$, llegamos a una contradicción con el hecho de que se suponía que $f$ estaba acotado.

Reclamación 2: $f$ tiene a lo sumo un punto crítico, que es un mínimo estricto.

Prueba: $\xi\in(1,\infty)$ es un punto crítico de $f$ si y solo si $f(\xi)=\xi$. Derivando la ecuación satisfecha por $f$ obtenemos $$ f''(\xi)=\frac{(2\xi-2f(\xi)f'(\xi))\xi^2(1+f(\xi)^2)}{\xi^4(1+f(\xi)^2)^2}=\frac{2}{\xi(1+f(\xi)^2)}>0. $$ Si $f$ tuviera dos puntos críticos, ambos serían mínimos, y habría un máximo entre ellos, lo cual es imposible.

Finalmente, de las Reclamaciones 2 se sigue que $f$ es eventualmente creciente, y dado que no está acotado por la Reclamación 1, debemos tener $\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty

Answer 2

Si $f(x)=0$ entonces $f'(x)=1$ y si $f'(x)=0$, entonces $f''(x)>0$. Entonces $f$ tiene a lo sumo un mínimo local, y o bien $f'$ es siempre negativo (entonces también lo es $f$ y $f$ tiende a $-\infty$ más rápido que $-x$) o $f'$ cambia de signo una vez de negativo a positivo o $f'$ es siempre positivo. Así que $f$ es creciente en $(a,\infty)$ para algún $a\ge 1$. O bien $f$ tiende a $\infty$ o $f$ está acotada. Sin embargo, si $f$ está acotada, $f'(x)\to 1$ cuando $x\to\infty$, lo cual es una contradicción.