El cero de una función continuamente diferenciable es la medida del cero

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación:

Supongamos que $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable, y para cualquier $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$ tenemos $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0 $$ entonces demuestre eso: $$ E=\{(x,y):f(x,y)=0\} $$ es un conjunto de medida cero en $\mathbb{R}^2$ .

Es fácil ver que $0$ en la definición de $E$ puede sustituirse por cualquier número real $c$ . He intentado integrar la función de dos variables $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ y luego he aplicado el teorema de Fubini pero sin resultados valiosos. ¿Puede alguien darme alguna pista para demostrar esta afirmación?

Answer 1

La conclusión deseada puede obtenerse bajo el supuesto más débil de que $$ f(x_0,y_0)=0 \; \Longrightarrow \; \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0 \,. $$

Por cada real $b$ Consideremos la función $g_b:{\mathbb R} \to {\mathbb R}$ definido por $g_b(t)=f(t,t+b)$ . Para cada $t$ la regla de la cadena y la hipótesis dan $$g_b(t)=0 \; \Longrightarrow \; g_b'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,t+b)+\frac{\partial f}{\partial y}(t,t+b)\ne 0 \,,$$ por lo que los ceros de $g_b$ están aislados, por lo que forman un conjunto contable (como máximo). Por lo tanto, el conjunto $E$ de ceros de $f$ interseca cada línea de la forma $\{y=x+b\}$ en un conjunto de longitud cero, por lo que el teorema de Fubini implica que $E$ tiene un área cero.

Para formalizar el último paso, puede considerar la rotación (que preserva el área) $R$ por $45$ grados, observe que $R(E)$ intercepta toda línea vertical en un conjunto de longitud cero, y deduce que $R(E)$ (y por lo tanto también $E$ ) tiene un área cero.