Resolver este sistema: $\frac{dx}{dt} = ax - ty $ y $ \frac{dy}{dt} = tx +ay$ con valores iniciales.

Question

Quiero resolver este sistema con valores iniciales $(x_0,y_0)$ en $t_0=0$ :

$$\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt} = ax -ty\\ \frac{dy}{dt} = tx+ay \end{matrix}\right. $$

Utilizo un cambio variable, poniendo $z = x+iy$ Así es que me sale: $x'+iy' = ax -ty +itx +aiy \iff z' = a(x+iy) + it(x +iy)= az + itz = (a+it)z$ Así que todo lo que tengo que resolver ahora es $$ z' = (a+it)z$$ Necesito integrar $(a+it)$ así obtengo $z(t) = \lambda \exp(at + i\frac{t^2}{2})$ .

Ahora, esto equivale a $z(t) = \lambda \exp(at)\exp(i \frac{t^2}{2}) = \lambda \exp(at)(\cos(\frac{t^2}{2}) + i \sin(\frac{t^2}{2}))$

Por lo tanto, puedo deducir que $x(t) = \lambda \exp(at)\cos(\frac{t^2}{2})$ y $y(t) = \lambda \exp(at)\sin(\frac{t^2}{2})$ Pero tengo un problema cuando conecto $t=t_0$ mientras consigo $x(0)=\lambda$ pero $y(0)=0$ , por lo que no puedo tener una condición inicial en $y_0$ si no es igual a 0.

¿He hecho en algún lugar un error?

Answer 1

Usted tiene $$ z(0) = \lambda = x_0 + iy_0 $$ por lo que la solución completa es

$$ z(t) = (x_0 + iy_0)e^{at}\left[\cos\left(\frac{t^2}{2}\right) + i\sin \left(\frac{t^2}{2}\right)\right] $$

Tomando las partes real e imaginaria se obtiene

$$ x(t) = e^{at}\left[x_0\cos\left(\frac{t^2}{2}\right) - y_0\sin\left(\frac{t^2}{2}\right)\right] $$

$$ y(t) = e^{at}\left[y_0\cos\left(\frac{t^2}{2}\right) + x_0\sin\left(\frac{t^2}{2}\right)\right] $$