Cómo determinar la distribución de esta variable transformada $X_c = X ({1_{\{|X|>c\}}}-{1_{\{|X|\le c\}}})$

Question

Tengo una pregunta de la clase de econometría que pide encontrar la distribución de probabilidad de lo siguiente:

$$X_c = X ({1_{\{|X|>c\}}}-{1_{\{|X|\le c\}}}) $$

donde $X \sim N(0,1)$ y $c > 0$ .

Ni siquiera estoy seguro de lo que $X_c$ se refiere. ¿Alguien tiene alguna idea? Gracias.

Answer 1

Como usted sugiere ${1_{\{|X|>c\}}}-{1_{\{|X|\le c\}}}$ será $1$ si $|X|>c$ y $-1$ de lo contrario.

Te sugiero que empieces por hacer un dibujo. Dibújate a ti mismo una densidad normal.

Colorea en (digamos) azul donde la expresión ${1_{\{|X|>c\}}}-{1_{\{|X|\le c\}}}$ es $1$ y rojo donde está $-1$ . Marca algunos valores a lo largo del eje x en las regiones azules y rojas. ¿Qué pasará con las partes azules? ¿Qué ocurrirá con las partes rojas? Si aún no lo ves, une cada punto con su imagen en el eje (con una flecha curva). ¿Puedes ver lo que ocurre? (debería ser bastante obvio una vez que dibujes el diagrama) Ahora vuelve a ver si puedes hacerlo algebraicamente.

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Ejem. Estaba buscando algo más o menos como esto:

Answer 2

Consejos : Considere algunos genéricos $x\in\mathbb{R}$ y que $Z=2\cdot 1_{|X|\geq c}-1$ . $Z=1$ significa $X>c$ o $X<-c$ y $Z=-1$ de lo contrario. Sea $\Phi$ denotan la FCD de $N(0,1)$ . Entonces, $\Pr(X_c\leq x)=\Pr(XZ\leq x)$ y \begin{aligned} \Pr(XZ\leq x)=\Pr(X Z\leq x\;\cap\; Z=1)+\Pr(X Z\leq x\;\cap\; Z=-1)\equiv \color{red}{A}+\color{blue}{B}. \end{aligned} Hay tres casos:

• $x<-c$ : espectáculo $A=\Phi(x)$ y $B=\ldots$ (Para ver por qué $A=\Phi(x)$ aquí, nota $Z=1$ y $XZ\leq x$ para $x<-c$ equivale a $X<x$ .)
• $-c\leq x\leq c$ : espectáculo $A=\Phi(-c)$ y $B=\ldots$
• $x>c$ : espectáculo $A=\Phi(x)-\Phi(c)+\Phi(-c)$ y $B=\ldots$

Demuestre entonces que en todos los casos, $A+B$ es siempre $\ldots$ y concluir.

Editar Este tipo de construcción permite demostrar que la falta de correlación no implica independencia: encontrará $E(X_c)=0$ . Y, por lo tanto, considerando que $X$ y $Z$ son claramente dependientes, tenemos $$ \text{Cov}(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)=E(X_c)-E(X)E(Z)=0-0E(Z)=0. $$ Hay construcciones más fáciles, por supuesto (por ejemplo, tomar $Z=X^2$ en su lugar).