Sistema de ecuaciones diferenciales $x'=f(y-x),\, y'=f(x-y)$

Question

Tengo un problema relacionado con las ecuaciones diferenciales, $f$ está aumentando. $x,y$ dependen de $t$ $$ f(0)=0 $$ $$x'=f(y-x)$$ $$y'=f(x-y)$$ $$x(0)=1$$ $$y(0)=0$$ demostrar que cuando $x,y$ son las soluciones de esta ecuación, entonces $$ \lim_{t \to \infty} x = \lim_{t \to\infty}y $$ Hasta ahora he conseguido ver que $x'(0)=f(-1)$ y $y'(0)=f(1)$ lo que implica que $x'(0)<0$ y $y'(0)>0$ y básicamente $x'(t)<0$ , $y'(t)>0$ como $x>y$ así como $f$ está aumentando y $x$ está disminuyendo con $t$ y $y$ aumenta con $t$ las derivadas de $x$ y $y$ se reducirá y aumentará, respectivamente, y tendrán el límite. ¿Puede alguien ayudar a partir de esto?

Answer 1

En primer lugar, observamos que $\lim_{t\rightarrow \infty} x = x_\infty$ existe de hecho. Esto se debe a que $x$ es monótona decreciente. Por otro lado $y_\infty$ existe también. Tenemos $x_\infty \geq y_\infty$ porque si hay un $t_0$ con $x(t_0)=y(t_0)$ tenemos $x'(t_0)=y'(t_0)$ y esto será $x_\infty$ .

Supongamos ahora que $x_\infty >y_\infty$ . La solución general de una ecuación diferencial es: $$x(t) = x(0)+ \int_0^t f(x(t)-y(t)dt$$ Pero entonces tendríamos $$\lim_{t\rightarrow \infty} x(t) =x(0) +\int_0^t f(y-x)dt \leq\lim_{t\rightarrow \infty} x(0) +\int_0^t f(y_\infty-x_\infty)dt =-\infty $$

Sin embargo, esto contradice que $x_\infty>y_\infty$

Answer 2

Dejemos que $u=y-x$ . Entonces $$ \frac{du}{dt}=\frac{dy}{dt}-\frac{dx}{dt}=f(-u)-f(u) $$

Que es automático con una solución de equilibrio $u=0$ . Observe que sus condiciones iniciales se convierten en $u(0)=-1$

Para $u<0$ desde $f$ está aumentando $f(-u)-f(u)>0$ dando $u$ es creciente (para todos los $u<0$ ). Suponiendo que $u$ es una solución continua tendría que pasar por $u=0$ pero no puede sobrepasar este valor debido al equilibrio existente. así que $\lim_{t\to \infty} u=0$ Así, $\lim_{t\to \infty} y-x =0$ . Así que si cualquiera de los límites $\lim_{t \to 0} x$ o $\lim_{t \to 0} y$ existen (y son reales) deben ser iguales. Si son $\pm \infty$ también deben ser el mismo.