¿matriz constante por distribución gaussiana multivariante?

Question

Supongamos que tengo una distribución gaussiana multivariante x y una matriz constante A. Sé cómo calcular la media y la covarianza de Ax, pero ¿cómo puedo demostrar que Ax también será gaussiana multivariante?

Answer 1

Además de las funciones características, se puede utilizar Jacobianos para encontrar una expresión para las transformaciones de RV, es decir, cuando establecemos $\mathbf{Y}=\mathbf{AX}+\mathbf{b}$ se simplifica aún más: $$f_\mathbf{Y}(\mathbf{y})=\frac{1}{\vert\mathbf{A}\vert}f_\mathbf{X}(\mathbf{A}^{-1}\vert\mathbf{y}-\mathbf{b}\vert)$$

Desde $\vert\mathbf{A}\vert$ es constante, $f_{\mathbf{Y}}(y)\propto f_\mathbf{X}(\mathbf{A}^{-1}\vert\mathbf{y}-\mathbf{b}\vert)$ y como $f_\mathbf{X}(\mathbf{.})$ está en la forma normal de MV, también lo está $f_\mathbf{Y}(\mathbf{y})$ .