Curva plana irreductible de grado $d>2$ con un punto $P$ de la multiplicidad $d-1$ es racional

Question

Tenemos que demostrar que una curva plana irreducible $X$ de grado $d>2$ con un punto $P$ de la multiplicidad $d-1$ es racional y tenemos que encontrar una resolución de este $X$ .

Para demostrar que $X$ es racional, podemos construir un mapa biracional $\mathbb{P}^1 \mapsto X$ utilizando el punto $P$ . Sin embargo, no tengo ni idea de cómo encontrar este mapa birracional.

También para encontrar una resolución de esta curva, no tengo ni idea de cómo empezar. ¿Alguien sabe cómo proceder?

Answer 1

Hasta un automorfismo de $\Bbb P^2$ podemos suponer que nuestro punto de multiplicidad $d-1$ es $[0:0:1]$ . Sea $F$ sea la ecuación de nuestra curva $X$ después de este automorfismo, y dejemos que $f$ sea su deshomogeneización con respecto a $z$ . Desde $[0:0:1]$ es de multiplicidad $d-1$ Debemos tener $f=f_{d-1}(x,y)+f_d(x,y)$ donde $f_{d-1}$ y $f_d$ son homogéneos de grado $d-1$ y $d$ , respectivamente, y ninguno de ellos es cero - $f_{d-1}$ por la hipótesis de multiplicidad, y $f_d$ por la hipótesis de que nuestra curva es irreducible.

Vamos a encontrar la intersección de nuestra curva con una línea de la forma $y=tx$ . Conectando esto a $f$ encontramos $x^{d-1}p_{d-1}(1,t)+x^dp_d(1,t)=0$ que factores como $x^{d-1}(p_{d-1}(1,t)+xp_d(1,t))=0$ . Así que la intersección de nuestra curva con la línea $y=tx$ es el punto $(0,0)$ con multiplicidad $d-1$ y el punto $(-\frac{p_{d-1}(1,t)}{p_d(1,t)},-\frac{tp_{d-1}(1,t)}{p_d(1,t)})$ . Por lo tanto, obtenemos un mapa regular $\Bbb A^1\setminus \{t\mid p_d(1,t)=0\}\to X$ que por el teorema de la extensión de la curva a la proyección se extiende a un mapa $\Bbb P^1\to X$ . Esto es lo que estás buscando.