Algunas propiedades algebraicas del rizo

Question

Campos vectoriales dados $\mathbf E$ y $\mathbf H$ con rizo $\mathbf E= - \frac 1 c \frac {\partial \mathbf H} {\partial t}$ y rizo $\mathbf H= \frac 1 c \frac {\partial \mathbf E} {\partial t}$ donde $c$ es una constante, demuestre lo siguiente:

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf E ) = - \frac 1 {c^2} \frac {\partial ^2 \mathbf E} {\partial t^2}$$

Pensamientos: Este es el rizo del rizo de $\mathbf E$ , que es lo mismo que decir "curl $(-\frac 1 c \frac {\partial \mathbf H} {\partial t})$ ". Tengo la sensación de que debo sustituir de alguna manera el rizo $\mathbf H$ para $\mathbf H$ , lo que me permite deshacerme del rizo en el exterior de los paréntesis. Pero no estoy seguro de si/cómo/por qué se nos permite hacer eso- la única razón por la que sugiero esto es porque la respuesta parece encajar. ¿Ayuda?

Answer 1

Suponiendo un medio homogéneo&sin fuente, a partir de las ecuaciones de maxwell tenemos:

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf E ) =\nabla \times (-\frac{\partial(\mu \mathbf H)}{\partial t})=-\mu\frac{\partial}{\partial t}\nabla \times \mathbf H=-\mu\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial(\epsilon \mathbf E)}{\partial t}=-\mu \epsilon\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}= - \frac 1 {c^2} \frac {\partial ^2 \mathbf E} {\partial t^2}$$