Demostrar que existe $\beta \in L^1(V)$ tal que $T^s=\alpha \otimes \beta + \beta \otimes\alpha$

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial, $T\in L^2(V)$ es un $2$ -tensor y $\alpha \in L^1(V)=V^*$ es una transformación lineal no nula.
Para cada $v \in Ker(\alpha)$ tenemos $T(v,v)=0$ .

Demostrar que existe $\beta \in L^1(V)$ tal que $T^s=\alpha \otimes \beta + \beta \otimes\alpha$ .

Nota 1: $L^k(V)$ es el conjunto de todos los $k$ -tensores en $V$ .

Nota 2: Mi problema es "cómo encontrar ese $\beta$ ". No sé por dónde empezar.

Nota 3: La definición de $T^s$ es $T^s(u,v):=\frac{T(u,v)+T(v,u)}{2}$

Answer 1

Asumiré que $\operatorname{char} \mathbb{F} \neq 2$ . Tenga en cuenta que $T|_{\ker \alpha}$ es alternativo y por lo tanto $T^s|_{\ker \alpha} = 0$ . Más explícitamente, si $u, v \in \ker \alpha$ entonces

$$ 0 = T(u + v, u + v) = T(u,u) + T(u,v) + T(v,u) + T(v,v) = 2T^s(u,v) $$

así que $T^s(u,v) = 0$ . Si $\alpha = 0$ entonces vemos que $T^s = 0$ para que podamos tomar $\beta = 0$ . Si no, elija $w$ tal que $\alpha(w) = 1$ y luego $V = \ker \alpha \oplus \operatorname{span} \{ w \}$ . Definir una función lineal sobre $V$ por

$$ \beta(u) = \begin{cases} T^s(u,w) & u \in \ker \alpha, \\ \frac{T^s(w,w)}{2} & u = w. \end{cases} $$

Entonces

$$ (\alpha \otimes \beta + \beta \otimes \alpha)(u_1,u_2) = \\ \alpha(u_1) \beta(u_2) + \beta(u_1) \alpha(u_2) = \begin{cases} 0 = T^s(u_1,u_2) & u_1, u_2 \in \ker \alpha, \\ \beta(u_1) = T^s(u_1,u_2) & u_1 \in \ker \alpha, u_2 = w, \\ \beta(u_2) = T^s(u_2,u_1) = T^s(u_1,u_2) & u_1 = w, u_2 \in \ker \alpha, \\ 2\beta(w) = T^s(u_1,u_2) & u_1 = u_2 = w \end{cases} $$

que muestra que $\alpha \otimes \beta + \beta \otimes \alpha = T^s$ .