¿Existe un espacio normado $(E,\|\cdot \|)$ tal que la bola unitaria $$\{x\in E\mid \|x\|\leq 1\}$$ no es compacto ? no es cerrado ? Yo diría que no, pero es una cuestión de un ejercicio mío (por favor, no entrar en topología débil).
Respuestas
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Hagen von Eitzen
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171160
La bola de la unidad siempre estará cerrada: Si $x$ no está en la bola unitaria porque $\|x\|>1$ entonces la bola abierta de radio $\|x\|-1$ alrededor de $x$ es disjunta de la bola uint.
Sin embargo, a menudo no es compacto: Sea $E$ sea el espacio de las secuencias reales acotadas y $\|x\|=\sup\{\,|x_n|:n\in\Bbb N\,\}$ . Entonces las bolas abiertas de radio $\frac12$ alrededor de centros arbitrarios cubren la bola unitaria, pero no hay una subcubierta finita.
student
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21
Como señala Hagen von Eitzen, la bola de la unidad $\{x\in E:\|x\|\leq 1\}$ es siempre cerrado, porque el mapa $x\mapsto\|x\|$ es continua, y $[0,1]$ es un subconjunto cerrado de $[0,\infty)$ .
Pero la compacidad es diferente. La bola unitaria es compacta si y sólo si $E$ es de dimensión finita. Esto es una consecuencia de la Lemma de Riesz que puede utilizarse para definir inductivamente una secuencia en la esfera unitaria $\{x\in E:\|x\|=1\}$ un subconjunto cerrado de la bola unitaria, que tiene una subsecuencia convergente.
