¿Ley de los grandes números fuerte utilizando el lema de Fatou?

Question

Dejemos que $X_n$ , $n \in \mathbb{N}$ sea una secuencia de variables aleatorias i.i.d con $\mathbb{E}|X_1| < \infty$ . He estado pensando en demostrar la ley fuerte de los grandes números utilizando la siguiente descomposición: $$\begin{equation} Y_N = \sum_{n=1}^N \frac{X_n}{N} = \sum_{n=1}^N \frac{X_n}{N} \mathbb{I}(X_n \leq N) + \sum_{n=1}^N \frac{X_n}{N} \mathbb{I}(X_n > N). \end{equation}$$ He intentado justificar la convergencia casi segura de esta última parte a cero utilizando el lema de Fatou: $$\begin{align} \mathbb{P} ( \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^N \frac{X_n}{N} \mathbb{I}(X_n > N) \neq 0) &= \mathbb{P} ( \bigcup_{k \in \mathbb{N}} \{ \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^N \frac{X_n}{N} \mathbb{I}(X_n > N) > \frac{1}{k} \}) \\ &\leq \sum_{k \in \mathbb{N}} \mathbb{P}( \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^N \frac{X_n}{N} \mathbb{I}(X_n > N) > \frac{1}{k}) \\ &\leq \sum_{k \in \mathbb{N}} k \mathbb{E}( \lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{n=1}^N \frac{X_n}{N} \mathbb{I}(X_n > N)) \\ &\leq \sum_{k \in \mathbb{N}} k \liminf_{N \rightarrow \infty} \mathbb{E}( \sum_{n=1}^N \frac{X_n}{N} \mathbb{I}(X_n > N)) \quad \mbox{(Fatou)} \\ &= \sum_{k \in \mathbb{N}} k \liminf_{N \rightarrow \infty} \mathbb{E}( X_1 \mathbb{I}(X_1 > N)), \end{align}$$ pero $X_1 \mathbb{I}(X_1 > N)$ está dominado por $X_1$ y converge puntualmente a cero, por lo que deberíamos poder utilizar la convergencia dominada para ver que $\mathbb{E} (X_1 \mathbb{I}(X_1 > N)) \rightarrow 0$ lo que implica que la suma sobre $k$ también es cero.

¿Le parece que esto tiene sentido? Este no es el enfoque habitual que se da en los libros, lo que me hace sospechar un poco de mi razonamiento (y mi anterior intento de un problema similar aquí fue señalado como erróneo).

Answer 1

Puede suponer que $X_n \geq 0$ . Porque siempre podemos dividir la X original en partes positivas y negativas (aunque no se pueden centrar las variables).

La probabilidad de que las sumas parciales $\lim_N \sum_{n=1}^N$ no es igual a cero NO implica que exista un número $1/k$ tal que el límite es mayor que $1/k$ . Ni siquiera implica que el liminf sea mayor que $1/k$ . Por lo tanto, no se puede aplicar aquí el Lemma de Fatou.

Si se utiliza un $N$ en lugar de dejar que $N$ varían como $n$ entonces el último término no desaparece lo suficientemente rápido para que se produzca la convergencia a.s.