demostrar la regla de L'Hospitals sin el teorema del valor medio de Cauchy

Question

Estoy tratando de demostrar la regla de L'Hospitals en lo siguiente usando el teorema del valor medio del cálculo diferencial en lugar de Teorema del valor medio de Cauchy (el teorema del valor medio generalizado del cálculo diferencial).

Considere dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ del eje X, y diferenciable en el interior de ese intervalo. Suponemos que $g'(x)$ es positivo y $f(a) = g(a) = 0$ . El teorema del valor medio ordinario del cálculo diferencial aplicado por separado a $f(x)$ y $g(x)$ proporciona la expresión: $$\frac{f(x) - f(a)}{g\left( x \right) - g\left( a \right)}=\frac{f'(c_1)}{g^{'}\left( c_2 \right)}.$$ donde $c_1$ y $c_2$ son valores intermedios adecuados en el intervalo abierto $(a, x)$ . Después de tomar el límite en ambos lados y sustituir $f(a) = g(a) = 0 $ , uno tiene $$\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f(x) - f(a)}{g\left( x \right) - g\left( a \right)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f(x)}{g\left( x \right)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(c_1)}{g^{'}\left( c_2 \right)}$$ Sin embargo, la Regla de L'Hospital necesita $$\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f(x)}{g\left( x \right)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(x)}{g^{'}\left( x \right)}$$ por lo que me pregunto si $\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(c_1)}{g^{'}\left( c_2 \right)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(x)}{g^{'}\left( x \right)}$ ¿se mantiene en este caso?

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Algunos progresos que he hecho en la solución del problema :

1. Para cada x, siempre existe $c_1$ y $c_2$ en (a, x), por lo que se puede puede denotar $c_1=m(x)$ y $c_2=n(x)$ entonces $$\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f(x)}{g\left( x \right)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(c_1)}{g^{'}\left( c_2 \right)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(m(x))}{g^{'}\left( n(x) \right)}$$ (Como señaló @Bernard en el comentario - si hay varios $c_1$ s o $c_2$ s en $(a, x)$ Entonces elegiría a cualquiera de ellos, entonces $c_1$ y $c_2$ son funciones de $x$ .), por lo que el problema se convierte en: si $\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(m(x))}{g^{'}\left( n(x) \right)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(x)}{g^{'}\left( x \right)}$ ¿se mantiene en este caso?
2. Como $x$ se acerca a $a$ , $c_1$ y $c_2$ también se acercan $a$ porque siempre se encuentra entre $a$ y $x$ .

Answer 1

Dado que tenemos las mismas restricciones de dominio para $f, g$ podemos decir sin pérdida de generalidad que $c_1 = c_2$ .

La prueba completa sería la siguiente:

Si $x \in (a,b)$ entonces por el Teorema del Valor Medio aplicado a nuestras restricciones dadas de $f,g$ a $[a, x]$ existe alguna $\xi_x \in (a,x)$ con $$\frac{f'(\xi_x )}{g'(\xi_x )}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f(x)}{g(x)}$$

Desde $\xi_x \rightarrow a$ como $x\rightarrow a_+$ tenemos $$\lim_{x\rightarrow a_+} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a_+} \frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}$$

Answer 2

Hay que utilizar el Teorema del Valor Medio de Cauchy; es decir $$\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$ para algunos $c$ tal que $a<c<x$ . Así, cuando $x\to a^+$ , uno tiene $\to a^+$ . Así que $$\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(c)}{g'(c)}=\lim_{c\rightarrow a+}\frac{f'(c)}{g'(c)}=\lim _{x\rightarrow a+}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$